欧拉函数

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原文链接：http://www.cnblogs.com/acSzz/archive/2012/11/24/2785538.html

欧拉函数
欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数的个数，记做：φ(n)，其中φ(1)被定义为1，但是并没有任何实质的意义。

定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。

显然，对于素数p，φ(p)= p -1.对于两个素数p、q，他们的乘积n = pq 满足φ(n) =(p-1)(q-1)

         证明：对于质数p,q，满足φ(n) =(p-1)(q-1)
         考虑n的完全余数集Zn = { 1,2,....,pq -1}
         而不和n互质的集合由下面三个集合的并构成：
         1) 能够被p整除的集合{p,2p,3p,....,(q-1)p} 共计q-1个
         2) 能够被q整除的集合{q,2q,3q,....,(p-1)q} 共计p-1个
         3) {0}
         很显然，1、2集合中没有共同的元素，因此Zn中元素个数＝ pq - (p-1 + q- 1 + 1) = (p-1)(q-1)

上式中黑体的1是它本身，因为是小于它且和它互质的数，所以当然必须减去自身了。

欧拉函数的定义:E(k)=([1,n-1]中与n互质的整数个数).因为任意正整数都可以唯一表示成如下形式:
k=p1^a1*p2^a2*……*pi^ai;(即分解质因数形式)
可以推出:E(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1))
=k*(p1-1)(p2-1)……(pi-1)/(p1*p2*……pi);
=k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk)

= k*(p1-1)/p1 * (p2 - 1) / p2 .......

/*在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)
若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;
若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);
*/

一般解法：

1 int phi[MAX];
2
3 void genPhi( int n) /* 求数组phi(i)的例程, n为最大的i+1 */
4 {
5 int i, j, pNum = 0 ;
6 memset(phi, 0, sizeof(phi)) ;
7 phi[ 1] = 1 ;
8 for(i = 2; i < n; i++)
9 {
10     if(!phi[i])
11    {
12      for(j = i; j < n; j += i)
13     {
14       if(!phi[j])
15       phi[j] = j;
16      phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
17     }
18    }
19 }
20 }

快速求法：

1 void init() // 素数筛选及求欧拉函数值
2 {
3     ll num = 0 ,i,j;
4
5     phi[ 1] = 1 ;
6
7     CL(f, false) ;
8
9      for(i = 2 ; i <= 100000;i++)
10     {
11
12          if(f[i] == false)
13         {
14             prim[num++] = i;
15             phi[i] = i - 1 ;
16         }
17          for(j = 0;j< num&&prim[j]*i <= 100000;j++)
18         {
19               f[i*prim[j]] = true ;
20                if(i%prim[j] == 0)
21               {
22                   phi[i*prim[j]] = phi[i] *prim[j] ;
23
24               }
25                else
26                  phi[i*prim[j]] = phi[i]*(prim[j] - 1) ;
27
28         }
29     }

｝

poj 2478 Farey Sequence

http://poj.org/problem?id=2478

1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<cmath>
4 #include<iostream>
5 #include<algorithm>
6 #include< set>
7 #include<map>
8 #include<queue>
9 #include<vector>
10 #include< string>
11 #define inf 0x7fffffff
12 #define maxn 1600000
13 #define CL(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
14 #define  ll  long long
15 #define mx 1000010
16 using namespace std;
17
18
19 bool f[maxn] ;
20 ll phi[maxn] ; // 记录欧拉函数值
21 ll prim[maxn] ;
22 ll ans[maxn] ;
23
24 void init() // 素数筛选及求欧拉函数值
25 {
26     ll num = 0 ,i,j;
27
28     phi[ 1] = 1 ;
29
30     CL(f, false) ;
31
32      for(i = 2 ; i < mx;i++)
33     {
34
35          if(f[i] == false)
36         {
37             prim[num++] = i;
38             phi[i] = i - 1;
39         }
40          for(j = 0;j< num&&prim[j]*i < mx;j++)
41         {
42               f[i*prim[j]] = true ;
43                if(i%prim[j] == 0)
44               {
45                   phi[i*prim[j]] = phi[i] *prim[j] ;
46
47               }
48                else
49                  phi[i*prim[j]] = phi[i]*(prim[j] - 1) ;
50
51         }
52     }
53
54     ans[ 1] = ans[ 0] = 0 ;
55      for(i = 2; i < mx;i++)
56        ans[i] = ans[i- 1] + phi[i] ;
57
58
59
60
61 }
62 int main()
63 {
64      int n ;
65     init() ;
66
67      while(scanf( " %d ",&n),n)
68     {
69
70
71         printf( " %I64d\n ",ans[n]) ;
72     }
73 }

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