[洛谷4242]树上的毒瘤

路径权值计算与树链剖分求解

最新推荐文章于 2022-01-22 19:26:28 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Wolfycz/p/10573226.html

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#ui

博客介绍了如何分段求出题目中的\(T(i,j)\)，通过建立虚树，以\(T(u,v)-1\)为边权进行动态规划。还提到二次换根可\(O(n)\)求出所有特殊点的\(f[i]\)，对于颜色修改使用树链剖分求解，最后指出代码量较大。

题目传送门：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4242

首先我们考虑如何把题目求的\(T(i,j)\)分段求出，假定在路径\(<i,j>\)上找到一些关键点\(p_0,p_2,...p_k\)，其中\(p_0=i,p_k=j\)，可以发现\(\sum\limits_{i=1}^kT(p_{i-1},p_i)-k+1=T(i,j)\)，于是我们把虚树建出来之后，对于边\(<u,v>\)，可以直接用\(T(u,v)-1\)作为其边权，然后在虚树上dp，记\(f[i]\)表示到其子树内所有特殊点的路径权值和（在虚树上），然后对于\(f[i]\)输出\(f[i]+cnt\)即可（\(cnt\)为特殊点个数）

二次换根即可\(O(n)\)求出所有特殊点的\(f[i]\)，然后由于有颜色修改，我们使用树链剖分即可（貌似这个写法跑得飞快）

~~码量有点小大~~

/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline char gc(){
    static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int frd(){
    int x=0,f=1; char ch=gc();
    for (;ch<'0'||ch>'9';ch=gc())   if (ch=='-')    f=-1;
    for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=gc()) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
    return x*f;
}
inline int read(){
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())  if (ch=='-')    f=-1;
    for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())    x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
    return x*f;
}
inline void print(int x){
    if (x<0)    putchar('-'),x=-x;
    if (x>9)    print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e5;
int dfn[N+10],ID[N+10],V[N+10],n,q;
bool cmp(int x,int y){return ID[x]<ID[y];}
struct S1{
    #define ls (p<<1)
    #define rs (p<<1|1)
    struct node{
        int l,r,sum;
        node(){l=r=sum=0;}
        node(int _l,int _r,int _sum){l=_l,r=_r,sum=_sum;}
        void init(int v){l=r=v,sum=1;}
    }tree[(N<<2)+10];
    int cov[(N<<2)+10];
    friend node operator +(const node &x,const node &y){
        if (!x.sum) return y;
        if (!y.sum) return x;
        return node(x.l,y.r,x.sum+y.sum-(x.r==y.l));
    }
    void Add_cov(int p,int v){
        tree[p].init(v);
        cov[p]=v;
    }
    void pushdown(int p){
        if (!cov[p])    return;
        Add_cov(ls,cov[p]);
        Add_cov(rs,cov[p]);
        cov[p]=0;
    }
    void build(int p,int l,int r){
        if (l==r){
            tree[p].init(V[dfn[l]]);
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        build(ls,l,mid);
        build(rs,mid+1,r);
        tree[p]=tree[ls]+tree[rs];
    }
    void Modify(int p,int l,int r,int x,int y,int v){
        if (x<=l&&r<=y){
            Add_cov(p,v);
            return;
        }
        pushdown(p);
        int mid=(l+r)>>1;
        if (x<=mid) Modify(ls,l,mid,x,y,v);
        if (y>mid)  Modify(rs,mid+1,r,x,y,v);
        tree[p]=tree[ls]+tree[rs];
    }
    node Query(int p,int l,int r,int x,int y){
        if (x<=l&&r<=y) return tree[p];
        pushdown(p);
        int mid=(l+r)>>1; node res;
        if (x<=mid) res=res+Query(ls,l,mid,x,y);
        if (y>mid)  res=res+Query(rs,mid+1,r,x,y);
        return res;
    }
    #undef ls
    #undef rs
}ST;//Segment Tree
struct S2{
    int pre[(N<<1)+10],now[N+10],child[(N<<1)+10],tot,Time;
    int size[N+10],fa[N+10],deep[N+10],top[N+10],Rem[N+10];
    void join(int x,int y){pre[++tot]=now[x],now[x]=tot,child[tot]=y;}
    void insert(int x,int y){join(x,y),join(y,x);}
    void dfs(int x){
        deep[x]=deep[fa[x]]+1,size[x]=1;
        for (int p=now[x],son=child[p];p;p=pre[p],son=child[p]){
            if (son==fa[x]) continue;
            fa[son]=x,dfs(son);
            size[x]+=size[son];
            if (size[Rem[x]]<size[son]) Rem[x]=son;
        }
    }
    void build(int x){
        if (!x) return;
        dfn[ID[x]=++Time]=x;
        top[x]=Rem[fa[x]]==x?top[fa[x]]:x;
        build(Rem[x]);
        for (int p=now[x],son=child[p];p;p=pre[p],son=child[p]){
            if (son==fa[x]||son==Rem[x])    continue;
            build(son);
        }
    }
    int LCA(int x,int y){
        while (top[x]!=top[y]){
            if (deep[top[x]]<deep[top[y]])  swap(x,y);
            x=fa[top[x]];
        }
        return deep[x]<deep[y]?x:y;
    }
    void Modify(int x,int y,int v){
        while (top[x]!=top[y]){
            if (deep[top[x]]<deep[top[y]])  swap(x,y);
            ST.Modify(1,1,n,ID[top[x]],ID[x],v);
            x=fa[top[x]];
        }
        if (deep[x]>deep[y])    swap(x,y);
        ST.Modify(1,1,n,ID[x],ID[y],v);
    }
    int Query(int x,int y){
        S1::node res;
        while (top[x]!=top[y]){
            if (deep[top[x]]<deep[top[y]])  swap(x,y);
            res=ST.Query(1,1,n,ID[top[x]],ID[x])+res;
            x=fa[top[x]];
        }
        if (deep[x]>deep[y])    swap(x,y);
        res=ST.Query(1,1,n,ID[x],ID[y])+res;
        return res.sum;
    }
}HLD;//Heavy Light Decomposition
struct S3{
    int pre[(N<<1)+10],now[N+10],child[(N<<1)+10],val[(N<<1)+10];
    int A[N+10],stack[N+10],size[N+10];
    int m,tot; ll f[N+10];
    bool mark[N+10];
    void join(int x,int y,int z){pre[++tot]=now[x],now[x]=tot,child[tot]=y,val[tot]=z;}
    void insert(int x,int y,int z=0){z=HLD.Query(x,y)-1,join(x,y,z),join(y,x,z);}
    void rebuild(){
        int top=0; tot=0;
        sort(A+1,A+1+m,cmp);
        stack[++top]=1;
        for (int i=1;i<=m;i++){
            int x=A[i],lca=HLD.LCA(x,stack[top]);
            if (x==1)   continue;
            if (lca==stack[top]){
                stack[++top]=x;
                continue;
            }
            while (true){
                int y=stack[top-1];
                if (ID[y]>=ID[lca]) insert(y,stack[top--]);
                else{
                    if (lca==stack[top])    break;
                    insert(stack[top],lca);
                    stack[top]=lca; break;
                }
            }
            stack[++top]=x;
        }
        while (top>1){
            insert(stack[top],stack[top-1]);
            top--;
        }
    }
    void dfs1(int x,int fa){
        size[x]=mark[x],f[x]=0;
        for (int p=now[x],son=child[p];p;p=pre[p],son=child[p]){
            if (son==fa)    continue;
            dfs1(son,x),size[x]+=size[son];
            f[x]+=f[son]+1ll*val[p]*size[son];
        }
    }
    void dfs2(int x,int fa){//二次换根
        for (int p=now[x],son=child[p];p;p=pre[p],son=child[p]){
            if (son==fa)    continue;
            f[son]=f[x]+1ll*val[p]*(m-2ll*size[son]);
            dfs2(son,x);
        }
        now[x]=0;
    }
    void work(){
        static int list[N+10];
        m=read();
        for (int i=1;i<=m;i++)  mark[list[i]=A[i]=read()]=1;
        rebuild(),dfs1(1,0),dfs2(1,0);
        for (int i=1;i<=m;i++)  printf("%lld",f[list[i]]+m),putchar(i==m?'\n':' ');
        for (int i=1;i<=m;i++)  mark[A[i]]=0;
    }
}VT;//Virtual Tree
int main(){
    n=read(),q=read();
    for (int i=1;i<=n;i++)  V[i]=read();
    for (int i=1;i<n;i++){
        int x=read(),y=read();
        HLD.insert(x,y);
    }
    HLD.dfs(1),HLD.build(1),ST.build(1,1,n);
    for (int i=1;i<=q;i++){
        int type=read();
        if (type==1){
            int x=read(),y=read(),v=read();
            HLD.Modify(x,y,v);
        }
        if (type==2)    VT.work();
    }
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/Wolfycz/p/10573226.html