【练练脑子】时钟直角问题

作者：gnuhpc
出处：http://www.cnblogs.com/gnuhpc/

问：24小时时针和分针互成直角多少次？

答：首先是一个常识性问题，分针和时针通过运动重合时，一定伴随两次成为直角（可以试着把时针视为静止，然后想象一下）。我们看看在第一个12小时内，分针和时针重合了几次。分针与时针在00：00重合，因为这是开始所以不算。时针和分针在00：00--12：00重合了十一次，11*2=22。那么后一个12小时同理,也为22，加起来为44.

网上还有其他解法：

解法1：假设不考虑时针的旋转，那有48次，然而时针是有旋转的。但三点整合九点整的时候恰好为直角，也就是说我们把两点的后一次和三点的前一次算重了，把八点的后一次和九点的前一次算重了，所以48-4=44。

解法2：分针每小时转一圈，就是360度，所以分针的速度是360度/小时
同理，时针是30度 /小时
他们的速度差是330度/小时
所以，设他们互相垂直的时点为T，那么T满足90+360K=330T或者 -90+360K=330T
其中K为0，1，2……
那么我们主要从0开始代入不同的K，求出不同的T，只要T在0和24之间就可以啦，最后数一下有多少个T就可以了
当K=0的时候，T有1个值满足
K=1.2.3.4.5.6.7一直到21的时候，每个K都有2个T对应
当 K=22的时候，T也只有1个值满足
所以全部的T共有1+21*2+1=44
即一昼夜共垂直44次

附： 数学运算之时钟问题专题 (转)
基本思路：封闭曲线上的追及问题。
关键问题：
①确定分针与时针的初始位置；
②确定分针与时针的路程差；
基本方法：从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转360/60度，即6°，时针每分钟转360/12*60度，即0.5度，故分针和时针的角速度差为 5.5°/分钟。
【例题1】从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有：
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
【解析】
时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者为270度，理论上讲应为２次，还要验证：
根据角度差/速度差 =分钟数，可得 90/5．5= 16又4/11＜60，表示经过16又4/11分钟，时针与分针第一次垂直；同理，270/5．5 = 49又1/11＜60，表示经过49又1/11分钟，时针与分针第二次垂直。经验证，选B可以。
【例题2】在某时刻，某钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为
A．10点15分：
B．10点19分
C．10点20分
D．10点25分
【解法1】时针10―11点之间的刻度应和分针20―25分钟的刻度相对，所以要想时针与分针成一条直线，则分针必在这一范围，而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分，所以答案为A。
【解法2】常规方法
设此时刻为X分钟。则6分钟后分针转的角度为6（X+6）度，则此时刻3分钟前的时针转的角度为0．5（Ｘ＋3）度，以0点为起始来算此时时针的角度为 0．5（Ｘ―3）+10×30度。所谓“时针与分针成一条直线”即0．5（Ｘ―3）+10×30―6（Ｘ+6）=180度，解得Ｘ=15分钟。
【例题3】 现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？
解析：2点的时候分针和时针的角度差为60°，而分针和时针的角速度差为5.5°/分钟，所以时间为60/5.5=120/11 分。即经过120/11分钟后时针与分针第一次重合。
【例题4】 在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？
解析：在7点与8点之间，时针与分针会有两次垂直的机会。在7点的时候，分针与时针的角度为210°，第一次垂直时分针需要追及的角度为120°，则时间为120/5.5=240/11分，第二次垂直时分针需要追及的角度为300°，则时间为300/5.5=600/11分。
【例题5】晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正好成一条直线，结束时两针正好重合。这部动画片播出了多长时间？
解析：7点的时候分针与时针的角度差为210°，重合的时候分针追及的角度为30°，则时间为30/5.5=60/11 分钟。重合的时候分针追及的角度为210°，则时间为210/5.5=420/11，时间差为360/11分钟。
【例题6】3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？
解析：时针和分针离3的距离相等，即时针和分针与3的角度相等。列方程如下：0.5X=90-6X X=180/13分钟。
【例题7】小王去开会，会前会后都看了表，发现前后时针和分针位置刚好互换，问会开了1小时几分（）
A.51  B  49  C47  D45  
解析：时间大于1小时小于两小时，又因为时针和分针的位置互换，则分针与时针共同转过的角度和为720°，则时间为720/6.5=1440/13约等于 1小时51分钟。
【例题8】会议开始时,小李看了一下表,会议结束时,又看了一下表,结果分针与时针恰好对调了位置.会议在3点至4点之间召开,5点至6点之间结束,请问会议何时召开?
【解析】会议在3点至4点之间召开,5点至6点之间结束。
那么会议开始的大致时间我们可以得到是3点25-30之间。会议结束的时间大致是5点15-20分。会议结束时时针的位置就是会议开始时分钟的位置，15-20分，时针转的格数是15/12-20/12=5/4-5/3之间，那么分钟就在这个位置。5点位置分针是25分，加上5/4-5/3就是分钟的位置。
常规解法：会议持续的时间为720/6.5=1440/13分钟=24/13小时
假设会议开始的时间为3点X分。那么会议开始时时针的格数为15+1/12 *X格
会议结束时时针的格数为X格。得X=15+X/12+5*(24/13)

 

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