BZOJ3309 DZY Loves Math（莫比乌斯反演+线性筛）

最新推荐文章于 2020-12-01 21:53:37 发布

转载最新推荐文章于 2020-12-01 21:53:37 发布 · 59 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/Gloid/p/9683589.html

本文深入探讨了莫比乌斯反演算法的原理与应用，通过具体实例讲解了如何利用该算法求解复杂数学问题。文章详细介绍了算法的实现过程，包括线性筛法的应用，并提供了完整的代码示例。

　　一通正常的莫比乌斯反演后，我们只需要求出g(n)=Σf(d)*μ(n/d)的前缀和就好了。

　　考虑怎么求g(n)。当然是打表啊。设n=∏p_i^a_i，n/d=∏p_i^b_i。显然若存在b_i>1则这个d没有贡献。考虑b_i为0和1两种情况。如果只看a_i最小的质因子的选取情况，会发现大部分情况下其是0还是1，对f的取值是没有影响的，但会使μ取反，于是就抵消为0。而特殊情况即为所有a_i均相同，此时若所有b_i都取1会使f减少。与一般情况比较可以得到此时g(n)=(-1)^{质因子个数+1}。

　　然后就可以线性筛了。记录一下n去掉最小质因子后的数及最小质因子的幂次就可以了。

#include<iostream> 
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
#define N 10000010
int T,prime[N],f[N],p[N],c[N],v[N],cnt=0;
bool flag[N];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("bzoj3309.in","r",stdin);
    freopen("bzoj3309.out","w",stdout);
    const char LL[]="%I64d\n";
#else
    const char LL[]="%lld\n";
#endif
    T=read();
    flag[1]=1;p[1]=1;c[1]=0;f[1]=0;
    for (int i=2;i<=N-10;i++)
    {
        if (!flag[i]) prime[++cnt]=i,p[i]=1,c[i]=1,f[i]=1;
        for (int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=N-10;j++)
        {
            int t=prime[j]*i;
            flag[t]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                p[t]=p[i];
                c[t]=c[i]+1;
                if (c[p[i]]==0) f[t]=1;
                else f[t]=(c[t]==c[p[i]]?-f[p[i]]:0);
                break;
            }
            p[t]=i;
            c[t]=1;
            if (c[i]==0) f[t]=1;
            else f[t]=(c[i]==1?-f[i]:0);
        }
    }
    for (int i=1;i<=N-10;i++) f[i]+=f[i-1];
    while (T--)
    {
        int n=read(),m=read();
        long long ans=0;
        for (int i=1;i<=min(n,m);i++)
        {
            int t=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=1ll*(f[t]-f[i-1])*(n/i)*(m/i);
            i=t;
        }
        printf(LL,ans);
    }
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/Gloid/p/9683589.html