【算法学习】后缀数组

一个字符串的题，有姿势水平的OIers的脑中应该要浮现出许多算法……

但是我没有姿势，也没有水平，除了KMP和trie树，什么也想不起来。

直到我学了它——后缀数组！

多亏这玩意儿，我现在什么都想不起来了。

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后缀数组干嘛用的？

主要处理同一个字符串中的重复子串问题。

如何实现？

注意到每一个子串，都是一个后缀的某个前缀，这个后缀和前缀都是唯一确定的。

而后缀相同的前缀，和他们的字典序有密切联系。你有没有想过，字典中的相邻单词，他们的公共前缀总是很长。

一个字符串的任意后缀，都能用它的起始位置的下标唯一确定。

一个字符串的后缀数组(SuffixArray/SA)，就是它的所有后缀字典序排序后的结果，当然不是存储了所有的后缀，仅仅是存储了它们的起始位置罢了。

这篇文章并不是要详细说明后缀数组能干嘛的，怎么实现。它只是让你们对后缀数组的实现有更直观的理解，弄清楚代码的每一行都是干嘛的。

这篇文章适合用作补充材料。如果你是初学者，想要对理论有着更基础的认识，建议百度一下，或者看看这篇blog或者这篇blog。

因为博主学习的时候，也弄不太清楚SA到底怎么求出的，那个神奇的计数排序如何实现等等……

下面贴出一个注释详尽的模板，来为大家理清思路。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #define MAXN 1000005
 4 int len, m=127;
 5 //len : 字符串长度 , m : 不同排名的个数 / 字符集大小(初始时)
 6 char str[MAXN];
 7 //字符串 , 从 1 开始编号
 8 int rank[MAXN], SA2[MAXN];
 9 //rank : 第 i 次排序后的 rank / 第 i+1 次排序前的第一关键字
10 //SA2[k] : 第 i+1 次排序前的第二关键字第 k 小的后缀下标
11 int cnt[MAXN], tmp[MAXN];
12 //cnt : 桶排序用的"桶" , tmp : 重新计算 rank 的辅助数组 , 这两个数组可以合并
13 int SA[MAXN];
14 //后缀数组 , SA[i] : 排名为 i 的后缀的起始位置
15 int Height[MAXN];
16 //Height[i] = LCP(Suffix(SA[i]), Suffix(SA[i-1]))
17 void getHeight(){
18     //计算方法 : Height[rank[i]] >= Height[rank[i-1]] - 1
19     //即意 : "长度为 i 的后缀和它排名前一名的 LCP 长度" , 不比 "长度为 i+1 的后缀与其排名前一名的 LCP 长度" 减一来得小
20     //所以从最长的后缀(整个字符串,即rank[1],对应Height[rank[1]])开始计算 , 然后缩短长度直至 1
21     //保证复杂度 O(len)
22     //PS : Height[1]=0
23     int k=0;
24     for(int i=1;i<=len;++i){
25         if(rank[i]==1) {k=Height[1]=0; continue;}
26         if(k) --k;
27         int j=SA[rank[i]-1];
28         while(i+k<=len&&j+k<=len&&str[i+k]==str[j+k]) ++k;
29         Height[rank[i]]=k;
30     }
31 //    for(int i=1;i<=len;++i) printf("%d ",Height[i]); puts("");
32 }
33 inline void Rsort() {
34     //通过 rank , SA2 两个数组 , 确定新的 SA
35     for(int i=1; i<=m; ++i) cnt[i]=0;
36     //这里用 memset 也可以
37     for(int i=1; i<=len; ++i) ++cnt[rank[i]];
38     for(int i=1; i<=m; ++i) cnt[i]+=cnt[i-1];
39     //计数排序的 nb 操作
40     for(int i=len; i>=1; --i) SA[cnt[rank[SA2[i]]]--]=SA2[i];
41     //更新 SA
42 }
43 void getSA() {
44     for(int i=1; i<=len; ++i) rank[i]=str[i], SA2[i]=i;
45     Rsort();
46 //    printf("rk : "); for(int i=1;i<=len;++i) printf("%d ",rank[i]); puts("");
47 //    printf("SA : "); for(int i=1;i<=len;++i) printf("%d ",SA[i]); puts("");
48     for(int j=1; j<=len; j<<=1) {
49         int p=0;
50         for(int i=len-j+1; i<=len; ++i) SA2[++p]=i;
51         for(int i=1; i<=len; ++i) if(SA[i]>j) SA2[++p]=SA[i]-j;
52         //计算 SA2
53         Rsort();
54         //计算新的 SA
55         tmp[SA[1]]=p=1;
56         for(int i=2; i<=len; ++i) {
57             if(rank[SA[i]]!=rank[SA[i-1]]||rank[SA[i]+j]!=rank[SA[i-1]+j]) ++p;
58             tmp[SA[i]]=p;
59         }
60         for(int i=1; i<=len; ++i) rank[i]=tmp[i];
61         //根据 SA 更新新的 rank
62         m=p;
63         if(m==len) break;
64         //不同排名的个数 m 更新成 p , 当所有排名都不同时 , 就可以退出了
65         //实践证明这一句话加上会快(数据较随机) , 但是理论上可以被卡掉
66 //        printf("rk : "); for(int i=1;i<=len;++i) printf("%d ",rank[i]); puts("");
67 //        printf("SA : "); for(int i=1;i<=len;++i) printf("%d ",SA[i]); puts("");
68 //        printf("SA2: "); for(int i=1;i<=len;++i) printf("%d ",SA2[i]); puts("");
69         //输出每步结果
70     }
71     getHeight();
72 }
73 int main() {
74     scanf("%s",str+1);
75     len=strlen(str+1);
76     getSA();
77     return 0;
78 }

接下来解释一下代码中难懂的部分，也是众多blog没有说清楚的地方：计数排序。

代码37行：

for(int i=1; i<=len; ++i) ++cnt[rank[i]];

rank[i]表示第一关键字，cnt就是桶。
这只是在统计桶中元素罢了。

代码38行：

for(int i=1; i<=m; ++i) cnt[i]+=cnt[i-1];

它把桶做了前缀和，这样的目的在于，我们知道了对于某一个第一关键字，它所对应的区间：( cnt[i-1] , cnt[i] ]，这是一个左开右闭区间。
仔细思考一下是不是这样。

代码40行：

for(int i=len; i>=1; --i) SA[cnt[rank[SA2[i]]]--]=SA2[i];

对于确定的第一关键字，我们知道对应区间，但是在同一个区间中，第二关键字还要保证升序啊。
看看SA2数组，它是第二关键字从小到大排序对应的后缀下标，那么在 i 从大到小的循环过程中，SA2[i]就是满足第二关键字从大到小的后缀下标。
那么再在外面套一个rank[SA2[i]]呢？如果有两个 i 的rank[SA2[i]]是相同的，即它们的第一关键字相同，那么我们说，是第二关键字大的先访问到。
那么在SA数组中，这就表示成，在同一个第一关键字下，按照着第二关键字从大到小的顺序，数组从后往前填充着后缀下标。
那就是说，在满足了第一关键字有序的情况下，从前往后，第二关键字也是从小往大的。

这就是计数排序的原理，还是非常巧妙的。

转载于:https://www.cnblogs.com/PinkRabbit/p/8361556.html