[BZOJ 2425] 计数

最新推荐文章于 2019-10-14 13:29:34 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/newera/p/9291608.html

本文介绍了一种使用数位动态规划(DP)的方法来解决特定类型的问题，特别是涉及数字计数的问题。通过添加前导零将所有答案标准化为相同位数，简化了计算过程。文中提供了一个具体的代码实现案例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Link:

BZOJ 2425 传送门

Solution:

其实就是利用数位$dp$的思想来暴力计数的一道题目

如果答案有$dgt$位，可以类似 [BZOJ 1833] 先计算出1至$dgt-1$位的情况再根据上界逐位枚举

不过实际上可以通过添补前导0的方式将所有情况都补为$dgt$位统一计算

其中组合数部分的计算可以使用阶乘的方式：$\frac{(\sum_{i=0}^9 cnt_i)!}{cnt_0!+cnt_1!...+cnt_9!}$

但为了防止阶乘爆$long long$，要通过拆分后统计每一个质因数个数的方式来求解

更简便的方式是直接使用组合数：$\sum_{i=0}^9 C[tot-sum(i-1)][cnt_i]$

Code:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
ll res=0;
char s[1005];
int C[55][55],cnt[15],len;
int idx(char ch){return ch-'0';}
int main()
{
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=50;i++)
    {
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=50;j++)
            C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
    }
    
    scanf("%s",s+1);len=strlen(s+1);
    for(int i=1;i<=len;i++) cnt[idx(s[i])]++;
    for(int i=1;i<=len;i++)
    {
        for(int j=0;j<idx(s[i]);j++)
            if(cnt[j])
            {
                int t=len-i;ll pro=1;
                cnt[j]--;
                for(int k=0;k<=9;k++)
                    pro*=C[t][cnt[k]],t-=cnt[k];
                res+=pro;cnt[j]++;
            }
        cnt[idx(s[i])]--;
    }
    printf("%lld",res);
    return 0;
}

Review:

1、两阶乘相除位数不够时可以通过逐个质因数统计次幂的方式来解决

ll cal(ll x,ll t){
    ll res=0;
    while (x/t) res+=(x/=t);
    return res;
}
ll solve()
{
    ll res=1;
    for (int i=1;i<=tot && pri[i]<=mx;i++)
    {
        ll pw=cal(mx,pri[i]);
        for (int j=0;j<10;j++) pw-=cal(cnt[j],pri[i]);
        res=res*qpow(pri[i],pw);
    }
    return res;
}