最小路径覆盖_zoj1525_最小路径覆盖+水

最新推荐文章于 2023-02-05 22:01:19 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/a-loud-name/p/6184791.html

本文介绍了不含圈的有向图的最小路径覆盖问题，并详细解释了如何通过将有向图转化为无向图来求解最大匹配，从而得出最小路径覆盖数。文章提供了定理证明及代码实现。

题目大意

定义：一个不含圈的有向图G中，G的一个路径覆盖是一个其结点不相交的路径集合P，图中的每一个结点仅包含于P中的某一条路径。路径可以从任意结点开始和结束，且长度也为任意值，包括0。请你求任意一个不含圈的有向图G的最小路径覆盖数。

分析

设所求路径条数为p，所有路径所包含边总数为e，则易得p=n-e（定理1或证明1），要求最小的p就是求最大的e（即使得路径末尾的点数最少）。

现在问题在于如何求最大的e：我们将有向图转化为无向图，有向图的每个点拆成X集i和Y集i'，接下来：

1.若图中存在点i—>j，则二分图中i与i'相连

2.求最大匹配m(e)

3.ans=n-m

应用很多，比如导弹拦截。

定理1：

每一条覆盖路径的边数=覆盖点数-1（即减去了路径末尾的那个顶点）

证明1：

一开始覆盖N个节点的是N条路径，设每个路径为一个集合，则每添加一条边，就合并两个集合（因为是无环图，所以集合内的节点不会互相连接），所以边越多，则集合越少，所以最小路径覆盖仅适合添加一条边能够合并两条路径的题目。

代码

type
  arr=record
    x,y,w:longint;
    next:longint;
end;

var
  a:array[1..10000] of arr;
  v:array[1..30000] of boolean;
  st,ls:array[1..30000] of longint;
  i,j:longint;
  n,m,nm:longint;
  k:char;
  t,t1:longint;

function find(r:longint):boolean;
var
  i,j,k:longint;
begin
  find:=true;
  i:=ls[r];
  while i<>0 do
    begin
      with a[i] do
        if not v[y]
          then
            begin
              k:=st[y]; st[y]:=r; v[y]:=true;
              if (k=0) or find(k) then exit;
              st[y]:=k;
            end;
      i:=a[i].next;
    end;
  find:=false;
end;

procedure main;
var
  i,j,k:longint;
  z:boolean;
begin
  for i:=1 to n do
    begin
      fillchar(v,sizeof(v),0);
      z:=find(i);
    end;
end;

begin
  readln(t);
  for t1:=1 to t do begin
  readln(n);
  readln(m);
  nm:=0;
  fillchar(st,sizeof(st),0);
  fillchar(ls,sizeof(ls),0);
  for i:=1 to m do
    begin
      nm:=nm+1;
      with a[nm] do
            begin
              readln(x,y);
              next:=ls[x];
              ls[x]:=nm;
            end;
    end;
  main;
  j:=0;
  for i:=1 to n do
    if st[i]<>0 then j:=j+1;
  writeln(n-j);
  end;
end.

转载于:https://www.cnblogs.com/a-loud-name/p/6184791.html