题目大意
定义:一个不含圈的有向图G中,G的一个路径覆盖是一个其结点不相交的路径集合P,图中的每一个结点仅包含于P中的某一条路径。路径可以从任意结点开始和结束,且长度也为任意值,包括0。请你求任意一个不含圈的有向图G的最小路径覆盖数。
分析
设所求路径条数为p,所有路径所包含边总数为e,则易得p=n-e(定理1或证明1),要求最小的p就是求最大的e(即使得路径末尾的点数最少)。
现在问题在于如何求最大的e:我们将有向图转化为无向图,有向图的每个点拆成X集i和Y集i',接下来:
1.若图中存在点i—>j,则二分图中i与i'相连
2.求最大匹配m(e)
3.ans=n-m
应用很多,比如导弹拦截。
定理1:
每一条覆盖路径的边数=覆盖点数-1(即减去了路径末尾的那个顶点)
证明1:
一开始覆盖N个节点的是N条路径,设每个路径为一个集合,则每添加一条边,就合并两个集合(因为是无环图,所以集合内的节点不会互相连接),所以边越多,则集合越少,所以最小路径覆盖仅适合添加一条边能够合并两条路径的题目。
代码
type
arr=record
x,y,w:longint;
next:longint;
end;
var
a:array[1..10000] of arr;
v:array[1..30000] of boolean;
st,ls:array[1..30000] of longint;
i,j:longint;
n,m,nm:longint;
k:char;
t,t1:longint;
function find(r:longint):boolean;
var
i,j,k:longint;
begin
find:=true;
i:=ls[r];
while i<>0 do
begin
with a[i] do
if not v[y]
then
begin
k:=st[y]; st[y]:=r; v[y]:=true;
if (k=0) or find(k) then exit;
st[y]:=k;
end;
i:=a[i].next;
end;
find:=false;
end;
procedure main;
var
i,j,k:longint;
z:boolean;
begin
for i:=1 to n do
begin
fillchar(v,sizeof(v),0);
z:=find(i);
end;
end;
begin
readln(t);
for t1:=1 to t do begin
readln(n);
readln(m);
nm:=0;
fillchar(st,sizeof(st),0);
fillchar(ls,sizeof(ls),0);
for i:=1 to m do
begin
nm:=nm+1;
with a[nm] do
begin
readln(x,y);
next:=ls[x];
ls[x]:=nm;
end;
end;
main;
j:=0;
for i:=1 to n do
if st[i]<>0 then j:=j+1;
writeln(n-j);
end;
end.