Boruvka算法

最新推荐文章于 2025-02-15 12:00:02 发布

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Boruvka算法是一种用于求解最小生成树的算法，尤其适用于处理点权和边权相关的问题。它通过维护连通块，并寻找与每个连通块相连的边权最小的边来逐步构建最小生成树。虽然其平均时间复杂度较高，但在特定类型的题目中，如Atcoder keyence2019 E，可以达到O(n log^2 n)的复杂度，表现出较高的效率。

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Boruvka算法解决某些问题超级好用。

这些问题形如，给你n个点，每个点有点权，任意两个点之间有边权，边权为两个点权用过某种计算方式得出。

求最小生成树。

通常用O(log n)的时间可以找到与点i连边的边权最小的j。

我们考虑这样一个求最小生成树的算法：

考虑维护当前的连通块（初始每个点为独立的一个连通块）

对每个连通块，找到一条与该连通块相连的，且另一端点不在此连通块中的边权最小的边。

将所有的这些边都加入最小生成树，注意，当加入一条边时需判断该边的两端点是否在同一连通块。

重复若干遍上述操作，直到图连通。

这个算法叫Boruvka算法。

复杂度分析：每次连通块个数至少减半，则复杂度为O((n+m)logn)，还有个并查集假装是O(1)

但是此算法通常不用于求裸的最小生成树（Kruskal多好用）

可是在解决上述问题时，往往有奇效。

我们发现，我们只需要求出与每个连通块相连的边权最小的边即可，在这种类型的题目中，这个东西复杂度一般为O(n log n)

所以我们就可以在O(n log^2 n)的复杂度下解决此类问题。

Atcoder keyence2019 E

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define MN 201000

typedef long long ll;
int fa[MN];
int c1[MN], c2[MN];
int Min[MN];
ll D; int a[MN];
int X[MN], Y[MN];
int x[MN], y[MN];
ll ans = 0;
int bl;
int n;

int Abs(int a) {
   
   return a > 0 ? a : -a;}
ll F(