为什么比较排序时间复杂度是O(nlogN)

在树的大部分操作中，我们首先

只用到比较的排序算法最低时间复杂度是O(nlogn)，而像桶排这样的只需要O(R)(R为桶的大小)

为了证明只用到比较的排序算法最低时间复杂度是O(nlogn)，首先要引入决策树。

首先，决策树是一颗二叉树，每个节点表示元素之间一组可能的排序，它予以京进行的比较相一致，比较的结果是树的边。

先来说明一些二叉树的性质，令T是深度为d的二叉树，则T最多有2^片树叶。具有L片树叶的二叉树的深度至少是logL。所以，对n个元素排序的决策树必然有n!片树叶（因为n个数有n!种不同的大小关系），所以决策树的深度至少是log(n!)，即至少需要log(n!)次比较。

而 log(n!)=logn+log(n-1)+log(n-2)+...+log2+log1 >=logn+log(n-1)+log(n-2)+...+log(n/2) >=(n/2)log(n/2) >=(n/2)logn-n/2 =O(nlogn)

所以只用到比较的排序算法最低时间复杂度是O(nlogn)。

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