[JXOI2018]游戏（线性筛，数论）

最新推荐文章于 2019-08-28 15:23:11 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/812-xiao-wen/p/10682823.html

本文解析了一道JXOI2018的竞赛题目，通过定义关联数与特殊数的概念，采用线性筛算法筛选出特殊数，并结合组合数学原理计算出在特定条件下序列的有效操作数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

[JXOI2018]游戏

\(solution:\)

这一道题的原版题面实在太负能量了，所以用了修改版题面。

这道题只要仔细读题，我们就可以将题目的一些基本性质分析出来：首先我们定义：对于某一类都可以被x整除的数（要在\([l,r]\) 之内），若x也在我们的\([l,r]\) 之内且x不能被\([l,r]\) 内任意其它数整除，我们称这类数为关联数且x为特殊数，（显然：当九条可怜查了x这间办公室后，所有以x为特殊数的关联数都不需要再检查了！）（而且：这一类以x为特殊数的关联数，只有且只要当x被检查后，这一类数都不需要检查了！）

然后我们可以将\([l,r]\) 内所有的数，都分为以不同数为特殊数的关联数。然后我们发现只有且只要当所有的特殊数都被检查后，整个\([l,r]\) 就都不需要检查了（这个可以根据上面括号里的第二条性质推出来）。所以我们用线性筛把这一类特殊数筛出来（我们不难发现对于一个数x，如果它除以它的最小因子（得到比它小的最大的约数），如果它不在\([l,r]\) 内，则说明它是一个特殊数）。然后我们可以枚举最后一个特殊数在操作序列中出现的位置（假设现在枚举到i），于是这个序列的后面一部分（即n-i个数）就无关紧要了，这相当于我们从tot（假设\([l,r]\) 中不是特殊数的有tot个）个非特殊数中取出n-i个数随便排列，然后i之前特殊数和非特殊数也可以随便排列。

于是我们得出答案就是：

\(ans=\sum_{i=tot}^n itotC\tbinom{n-i}{n-tot}(n-i)!(i-1)!\)

按顺序：（枚举最后一个特殊数的位置）（最后一个特殊数数在i结束，会有i的贡献）（这个位置可以是tot里的任意一个特殊数）（从剩下的非组合数n-tot个中取出n-i个放在i后面）（后面的n-i个非特殊数数可以随便排列）（前面的i-1个数也可以随便排列）

于是我们可以暴力求阶乘，阶乘逆元，还有线性筛即可。

\(code:\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>

#define ll long long
#define db double
#define inf 0x7fffffff
#define rg register int

using namespace std;

const int mod=1e9+7;

int l,r,n,tot,ans;
int ni[10000005];
int jc[10000005];
int pr[10000005];
int use[10000005];

inline int qr(){
    char ch;
    while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');
    int res=ch^48;
    while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')
        res=res*10+(ch^48);
    return res;
}

inline int ksm(ll x,int y,int p){
    ll res=1;
    while(y){
        if(y&1)(res*=x)%=p;
        (x*=x)%=p; y>>=1;
    }return res;
}

int main(){
    //freopen(".in","r",stdin);
    //freopen(".out","w",stdout);
    l=qr(); r=qr(); n=r-l+1; jc[0]=1;
    for(rg i=1;i<=r;++i)
        jc[i]=(ll)jc[i-1]*i%mod;
    ni[r]=ksm(jc[r],mod-2,mod);
    for(rg i=r;i;--i)
        ni[i-1]=(ll)ni[i]*i%mod;
    if(l==1){printf("%lld\n",(ll)jc[r]*(n+1)%mod*ksm(2,mod-2,mod)%mod);return 0;}
    for(rg i=2;i<=r;++i){
        if(!use[i])use[i]=i,pr[++tot]=i;
        for(rg j=1;j<=tot;++j){
            if(pr[j]*i>r)break;
            use[pr[j]*i]=pr[j];
            if(!(i%pr[j]))break;
        }
    } tot=0;
    for(rg i=l;i<=r;++i)if(i/use[i]<l)++tot;
    for(rg i=tot;i<=n;++i){
        (ans+=(ll)tot*jc[n-tot]%mod*jc[i]%mod*ni[i-tot]%mod)%=mod;
    }printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

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