费马小定理

内容

若\(p\)为素数，\(a\)为正整数，且\(gcd(a,p)=1\)（即\(a,p\)互质）,则\(a^{p−1}\equiv1(mod\ p)\)。

三个小性质

首先我们要证明三个小性质。

因为\(p\)为素数，所以\(gcd(i,p)=1\)(\(1\le i\le p-1\),\(i\)为整数），可推出：

\[gcd((p-i)!,p)=1\tag{①}\]

又因为\(gcd(a,p)=1\)，所以\(gcd(i∗a,p)=1\)，则：

\[\text{没有一个}i*a\text{是}p\text{的倍数}\tag{②}\] 
设\(a=b*p+r\)，则\(gcd(i*r,p)=1\)，没有一个\(i*r\)是\(p\)的倍数。

假设有两个\(i*r\)在模\(p\)意义下同余，即设\(c*r\equiv d*r(mod\ p)(c<d)\)。

那么\((d-c)*r\equiv 0(mod\ p)\)，即\(p|(d−c)∗r\)。

由于\(1\le d−c\le p−1\)，这与没有一个\(i*r\)是\(p\)的倍数矛盾。

所以\(i*r\)中没有任何两个数在模\(p\)意义下同余得证。即：

\[i*a\text{中没有任何两个数在模}p{意义下同余}\tag{③}\]

费马小定理的证明

证明了①②③，我们就可以证明费马小定理了： 

由于②③，我们可以得知\(i*a\%p\)之后一定是\(1,2,3,…,p-1\)的一个排列，也就是： 

\[a∗2a∗3a∗…∗(p−1)a≡1∗2∗3∗…∗(p−1)(mod\ p)\]

即： 

\[(p−1)!∗a^{p−1}≡(p−1)!(mod\ p) \]

因为①，所以可以同除以\((p-1)!\)，得：

\[a^{p−1}≡1(mod\ p)\]

费马小定理得证。

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