Codeforces Round #307 (Div. 2) D. GukiZ and Binary Operations （矩阵高速幂）

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原文链接：http://www.cnblogs.com/cxchanpin/p/7264107.html

本文解析了CodeForces竞赛中一道题目D的解决思路，通过动态规划推导出了一个斐波那契数列，并利用矩阵快速幂的方法高效求解。文章提供了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目地址：http://codeforces.com/contest/551/problem/D
分析下公式能够知道，相当于每一位上放0或者1使得最后成为0或者1。假设最后是0的话，那么全部相邻位一定不能全是1，由于假设有一对相邻位全为1，那么这两个的AND值为1。又由于OR值是仅仅要有1。结果就为1。所以这位结果肯定为1。所以就推出了一个dp转移方程。dp[i][j]表示第i位上的数为j时的总个数。那么有：
dp[i][0]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1];
dp[i][1]=dp[i-1][0];
设f[i]表示第i位上的总个数，即f[i]=dp[i][0]+dp[i][1].
所以，f[i]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1]+dp[i-1][0]
f[i]=f[i-1]+dp[i-1][0]
f[i]=f[i-1]+dp[i-2][0]+dp[i-2][1]
f[i]=f[i-1]+f[i-2]
所以，推到最后可发现这是一个斐波那契！！

所以用矩阵高速幂求结果为0时的情况。然后为1的时候就是2^n-（结果为0的情况值）。

然后由于每一位都是独立的，所以分别推断每一位是0还是1，然后乘起来。

代码例如以下：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <stdlib.h>
#include <map>
#include <set>
#include <stdio.h>
#include <time.h>
using namespace std;
#define LL __int64
#define pi acos(-1.0)
//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000")
//const int mod=9901;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const double eqs=1e-9;
const int MAXN=110000+10;
LL mod;
struct Matrix
{
        LL ma[3][3];
}init,res;
LL ksm(LL k, LL x)
{
        LL ans=1;
        while(k){
                if(k&1) ans=ans*x%mod;
                k>>=1;
                x=x*x%mod;
        }
        return ans;
}
Matrix Mult(Matrix x, Matrix y, int z)
{
        Matrix tmp;
        for(int i=0; i<z; i++) {
                for(int j=0; j<z; j++) {
                        tmp.ma[i][j]=0;
                        for(int k=0; k<z; k++) {
                                tmp.ma[i][j]+=x.ma[i][k]*y.ma[k][j];
                                if(tmp.ma[i][j]>=mod) tmp.ma[i][j]%=mod;
                        }
                }
        }
        return tmp;
}
Matrix Pow(Matrix x, LL k, int z)
{
        Matrix tmp;
        int i, j;
        for(i=0; i<z; i++) for(j=0; j<z; j++) tmp.ma[i][j]=(i==j);
        while(k) {
                if(k&1) tmp=Mult(tmp,x,z);
                x=Mult(x,x,z);
                k>>=1;
        }
        return tmp;
}
int main()
{
        LL n, k, l, x1, x2, ans, tmp, i;
        while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d",&n,&k,&l,&mod)!=EOF){
                if(l<=62&&k>=((LL)1<<l)){
                        puts("0");
                        continue ;
                }
                init.ma[0][0]=init.ma[0][1]=1;
                init.ma[1][0]=1;
                init.ma[1][1]=0;
                res=Pow(init,n-2,2);
                tmp=ksm(n,(LL)2);
                x1=(res.ma[0][1]*2%mod+res.ma[0][0]*3%mod)%mod;
                x2=(tmp+mod-x1)%mod;
                ans=1;
                for(i=0;i<l;i++){
                        if(k&((LL)1<<i))
                                ans=ans*x2%mod;
                        else ans=ans*x1%mod;
                }
                printf("%I64d\n",ans%mod);
        }
        return 0;
}

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