欧拉数 e=2.71828...(Eulers_Number)

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本文介绍了欧拉数e的基本概念及其重要性。e不仅在数学中扮演着核心角色，而且在微积分学中作为唯一其导数等于自身的指数函数而独具特色。文章通过具体的数列极限和指数计算例子展示了e的近似值如何逐步逼近其真实值，并通过一个财主放债的故事形象地解释了复利计算与e的关系。

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欧拉数 e=2.71828...(Eulers_Number)

1. 提起欧拉数，差不多都知道。但是在中学里通常不太喜欢它，因为使用的对数以10位底计算对数仿佛要亲切些，因为以10位底的对数叫做常用对数。另外一个叫做自然对数的东西中学你少用，原因是自然对数的底到底是多少不知道。实际上，现在人类都不知道，只知道这个数e——欧拉数的计算方法，但是它的准确数字也许我们永远也不知道。e是一个无理数，这一点应该是被林德曼证明了的，用现在的办法不难证明。

2. 微积分学中e首先是作为数列{(1+1/n)ⁿ}的极限来定义的，因为这个数列是一个单调上升有界数列。不过要注意的是，如果真的使用这个数列来计算e的近似值那时相当不理想的。我们知道

e ≈ 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407\
6630353547594571382178525166427 (100位准确数字)。

例如

(1+1/10)¹⁰=2.5937424601.

(1+1/50)⁵⁰=2.6915880290736053938940873551532....

(1+1/100)¹⁰⁰=2.70481382942152609326719471080....

(1+1/365)³⁶⁵=2.7145674820218743031938863066...

不难看出n=365这种办法才有2位有效数字。后面将要学会一些新的算法，比如用

1+1/(1!)+1/(2!)+......+1/(n!). 其中 ! 表示阶乘。

可以简单算出：

n=1, e ≈2;

n=10, e ≈2.7182818011463844797178130...;

n=50, e ≈2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772341\
9298053548538722835117660645043...;

n=365, e= ... 如上的100位数字，实际上可以得出701位有效数字。

3. 有一个关于财主的故事。说的是一个财主特别贪财，他喜欢放债。放出去的债年利率为100%，也就是说借1块钱，一年后要还给他2块钱。他想，干脆按照半年50%的利率算，结果

(1+50%)²=2.25, 也就是说借出1块钱，一年后要还2.25元。

于是他进一步想，不如每天都来算利息，那利率就是1/365,这样

(1+1/365)³⁶⁵= 2.7145674820218743032…

他还有一天算两次或更多的想法，不过他的管家劝他还是算了吧。尽管财主不死心，只好作罢。

4．更为一般的，指数函数e^x有一个所有函数都不具备的性质，那就是它的导数还是它自己。具备这样性质的函数唯此一个。

另外，大家都经常用Google。有人说这个词实际上起源于Googol，它等于10¹⁰⁰，就是1后面有100个0。有趣的是据Wiki介绍， Google在2004年首次公开募股，集资额不是通常的整头数，而是$2,718,281,828，这当然是取最接近整数的e*十亿美元。

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