快速判断一个数是否是素数（模板）

最新推荐文章于 2019-10-07 18:32:20 发布

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本文介绍了一种高效的质数判断算法，通过利用质数与6的倍数的关系，结合平方根判断技巧，大幅提升了判断效率。算法核心在于，大于等于5的质数必位于6的倍数两侧，通过此特性，可将判断步长增大为6，从而快速筛选出非质数。

判断一个数是否为质数/素数——从普通判断算法到高效判断算法思路

bool isPrime( int num )
{
    
    if(num ==2|| num==3 )   //两个较小数另外处理
        return 1 ;
    if(num %6!= 1&&num %6!= 5)   //不在6的倍数两侧的一定不是质数
        return 0 ;
    int tmp =sqrt(num);
    for(int i= 5; i <=tmp; i+=6 )   //在6的倍数两侧的也可能不是质数
        if(num %i== 0||num %(i+ 2)==0)  //排除所有，剩余的是质数
            return 0 ;
    return 1 ;
}

首先看一个关于质数分布的规律：大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7，11和13,17和19等等；

证明：令x≥1，将大于等于5的自然数表示如下：

······ 6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6(x+1），6(x+1)+1 ······

可以看到，不在6的倍数两侧，即6x两侧的数为6x+2，6x+3，6x+4，由于2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，所以它们一定不是素数，再除去6x本身，显然，素数要出现只可能出现在6x的相邻两侧。这里有个题外话，关于孪生素数，有兴趣的道友可以再另行了解一下，由于与我们主题无关，暂且跳过。这里要注意的一点是，在6的倍数相邻两侧并不是一定就是质数。

此时判断质数可以6个为单元快进，即将方法（2）（sqrt的方法）循环中i++步长加大为6，加快判断速度，原因是，假如要判定的数为n，则n必定是6x-1或6x+1的形式，对于循环中6i-1，6i，6i+1,6i+2，6i+3，6i+4，其中如果n能被6i，6i+2，6i+4整除，则n至少得是一个偶数，但是6x-1或6x+1的形式明显是一个奇数，故不成立；另外，如果n能被6i+3整除，则n至少能被3整除，但是6x能被3整除，故6x-1或6x+1（即n）不可能被3整除，故不成立。综上，循环中只需要考虑6i-1和6i+1的情况，即循环的步长可以定为6，每次判断循环变量k和k+2的情况即可，理论上讲整体速度应该会是方法（2）的3倍。

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