数三角形（codevs 3693）-优快云博客

本文介绍了一种算法，用于计算在给定的n×m网格中，所有顶点位于格点上的非共线三角形的数量。通过组合数学原理与算法优化，详细展示了如何避免重复计数，并给出了具体实现代码。

题目描述 Description

给定一个n×m的网格，请计算三个点都在格点上的三角形共有多少个（三角形的三点不能共线）。下图为4×4的网格上的一个三角形。

输入描述 Input Description

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

输出描述 Output Description

输出一个正整数，为所求三角形的数量。

样例输入 Sample Input

样例输入1:

1 1

样例输入2:

2 2

样例输出 Sample Output

样例输出1:

样例输出2:

数据范围及提示 Data Size & Hint

20%的数据满足1 ≤m，n≤ 10；
100%的数据满足1 ≤m，n≤ 1800。

/*
  long long 都爆，这数据也是没谁了
   答案很明显是C((m+1)*(n+1),3)减去三个点在一条线的情况
   对于(0,0)到(i,j)这条线，中间点的个数是gcd(i,j)-1，
   和它斜率相同的线段有(n-i+1)*(m-j+1)条。 
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#define LL unsigned long long
#define M 2010
using namespace std;
int gcd[M][M];
int get_gcd(int a,int b)
{
    if(gcd[a][b])return gcd[a][b];
    if(!b)return gcd[a][b]=a;
    return gcd[a][b]=get_gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    LL n,m;
    cin>>n>>m;
    n+=1;m+=1;
    LL ans=(n*m)*(n*m-1)/2*(n*m-2)/3;
    for(int i=0;i<=n;i++)
      for(int j=0;j<=m;j++)
        if(i||j)
        {
            LL t=(get_gcd(i,j)-1)*(n-i)*(m-j);
            if(!i||!j)ans-=t;
            else ans-=2*t;
        }
    cout<<ans;
    return 0;
}