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最新推荐文章于 2025-08-15 16:44:13 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/zbtrs/p/8450198.html

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#数据结构与算法

本文介绍了一种计算特定任务中团队各种可能组合的成本总和的方法。通过巧妙地转换数学表达式并利用动态规划技术，解决了这一难题。最终给出了实现这一算法的具体代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

You have a team of N people. For a particular task, you can pick any non-empty subset of people. The cost of having x people for the task is xk.

Output the sum of costs over all non-empty subsets of people.

Input

Only line of input contains two integers N (1 ≤ N ≤ 109) representing total number of people and k (1 ≤ k ≤ 5000).

Output

Output the sum of costs for all non empty subsets modulo 109 + 7.

Examples

input

1 1

output

input

3 2

output

Note

In the first example, there is only one non-empty subset {1} with cost 11 = 1.

In the second example, there are seven non-empty subsets.

- {1} with cost 12 = 1

- {2} with cost 12 = 1

- {1, 2} with cost 22 = 4

- {3} with cost 12 = 1

- {1, 3} with cost 22 = 4

- {2, 3} with cost 22 = 4

- {1, 2, 3} with cost 32 = 9

The total cost is 1 + 1 + 4 + 1 + 4 + 4 + 9 = 24.

题目大意：求.

分析：挺难的一道题，完全下不了手......

　　　官方题解给出的做法非常巧妙.首先这个式子一眼看上去肯定不能直接解.变换一下？不会. 可以想到一个比较相似的式子：.

　　　那么怎么把这个式子变成题目给的式子呢？找一找不同，要求的式子r是从1开始的，这个式子r是从0开始的; 要求的式子r作为底数，k作为幂次，而这个式子凭空出现了一个x.变换比较难想到：

可以把这个式子求个导，然后乘x.

　　　　求导可以将x的幂次中的r提出来一个，同时r=0时求导就变成了0.那么操作k次就能得到和要求的式子差不多的一个式子.有什么差别呢？式子中有x.

　　　消除掉x的影响就可以了，想办法令x的幂次为1.可以利用dp.设f[a][b][c]表示还剩a次操作，式子的值.如果b=0,c = n,同时令x = 1,那么这个式子操作k次后正好就是要求的式子.对这个式子操作一次，变成了：，那么可以得到递推式：f[a][b][c] = b * f[a - 1][b][c] + c * f[a - 1][b + 1][c - 1].，最后答案是f[k][0][n].

　　　看似是三次复杂度的dp,实际上是平方级别的，因为b和c的和一定等于n.那么dp只需要记录a和b的状态,c可以推出来. (不能记录c，因为c可能高达n,而实际上b和c最多只会变化k,b是从0开始的，所以记录b).

　　　代码中的a,b表示上述分析中的b,c，一定要考虑边界情况：b = 0或c = 0,当a = 0时，就是一些连续的组合数相加，因为中的x = 1，直接返回2^c.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const ll mod = 1e9+7;

ll n,k,f[5010][5010];

ll qpow(ll a,ll b)
{
    ll res = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            res = (res * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res % mod;
}

ll dfs(ll dep,ll a)
{
    if (f[dep][a] >= 0)
        return f[dep][a];
    ll b = n - a;
    if (dep == 0)
        return f[dep][a] = qpow(2,b);
    return f[dep][a] = ((b?1LL*b*dfs(dep-1,a+1):0LL)+(a?1LL*a*dfs(dep-1,a):0LL))%mod;
}

int main()
{
    memset(f,-1,sizeof(f));
    cin >> n >> k;
    cout << dfs(k,0) % mod << endl;

    return 0;
}