某考试 T1 fair (18.5.1版)-优快云博客

本文探讨了一个经典的组合计数问题，即在一个序列中选择1和0的方式，使得任一子序列中1的数量不少于0的数量。通过数学公式推导得出问题的解，并使用了阶乘逼近公式来简化大数计算过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

转化一下模型：每天可以选1也可以选0，但是任意前i天(i<=n)1的个数都必须>=0的个数，求总方案数/2^n。

然后可以发现这是一个经典题，随便推一下公式发现等于 C(n,n/2)/2^n [请在二维平面直角坐标系上自行演算，（x,y）可以到 (x+1,y)和(x,y+1)，横坐标代表1的个数，纵坐标代表0的个数，求不经过 y=x+1 这条直线的路径总数 (终点是任意 (x,y) 满足 x+y==n 且 x>=y)]

本来以为卡卡常数就过去了23333，没想到竟然还要用阶乘逼近公式！

那就记一下好啦，反正这玩意也根本没法理解啊qwq

当n很大的时候，n! 与 sqrt(2*π*n) * (n/e)^n 之间的相对误差非常小(然鹅？)，所以可以近似成相等啦

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#define ll long long
#define D double
using namespace std;
const D pi=acos(-1),E=exp(1);
D now=1,ans=1,B=log(4);
int n,hf;

inline void solve(){
	hf=n>>1;
	if(n&1){ ans=n/(D)(n-hf)/2,n--;}
	
	ans=log(ans);
	for(int i=hf+1;i<=n;i++) ans+=log(i)-log(i-hf)-B;
	ans=exp(ans);
}

inline D jc(int x){ return log(sqrt(2*pi*x))+x*log(x/E);}

inline void Sim(){
	ans=jc(n)-jc(n>>1)-jc(n-(n>>1))-log(2)*n;
	ans=exp(ans);
}

int main(){
	freopen("fair.in","r",stdin);
	freopen("fair.out","w",stdout);
	
	cin>>n;
	if(n<=1e6) solve();
	else Sim();
	printf("%.11lf\n",ans);
	return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/JYYHH/p/8977247.html