洛谷.2619.[国家集训队2]Tree I(带权二分 Kruskal)-优快云博客

本文介绍了一种使用Kruskal算法结合二分搜索策略求解给定图中包含特定数量白色边的最小生成树的方法。通过为白色边设置额外权重并调整权重值，确保生成树既最小又能满足白边数量限制。

\(Description\)

给定一个无向带权连通图，每条边是黑色或白色。求一棵最小权的恰好有K条白边的生成树。

\(Solution\)

Kruskal是选取最小的n-1条边。而白边数有限制，考虑为其设额外边权C。
随着C增大，选的白边数应是不增的。可以二分求一个C值使得此时恰好选择K条边。选取时应优先选白边，因为多了还可以用黑边替换，少了只能减少C。
可能的问题是，C=mid时白边数>K，C=mid+1时白边数<K，因为有很多黑边与+mid后的白边权值想等。可以用这些黑边替换掉多余的白边，所以答案应是减K*mid(保留黑边)。

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#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 100000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
const int N=5e4+5,M=1e5+5;

int n,m,K,fa[N],Ans;
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
int read();
struct Edge
{
    int fr,to,val,col;
    inline void Init(){
        fr=read()+1, to=read()+1, val=read(), col=read();
    }
    bool operator <(const Edge &x)const{
        return val==x.val?col<x.col:val<x.val;
    }
}e[M];

inline int read()
{
    int now=0;register char c=gc();
    for(;!isdigit(c);c=gc());
    for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
    return now;
}
int GetFa(int x){
    return x==fa[x]?x:fa[x]=GetFa(fa[x]);
}
bool Check(int x)
{
    for(int i=1; i<=m; ++i) if(!e[i].col) e[i].val+=x;
    for(int i=1; i<=n; ++i) fa[i]=i;
    std::sort(e+1,e+1+m);
    int sum=0, cnt=0;
    for(int i=1,k=0,r1,r2; i<=m; ++i)
    {
        if((r1=GetFa(e[i].fr))==(r2=GetFa(e[i].to))) continue;
        fa[r1]=r2, sum+=e[i].val;
        cnt+=e[i].col^1;
        if(++k+1==n) break;
    }
    for(int i=1; i<=m; ++i) if(!e[i].col) e[i].val-=x;
    if(cnt<K) return 0;
    Ans = sum-K*x;//不能取min！
    return 1;
}

int main()
{
    n=read(),m=read(),K=read();
    for(int i=1; i<=m; ++i) e[i].Init();
    Ans=m*101; int l=-101,r=101,mid;
    while(l<=r)//l==r时要Check一遍(或者结束时)
        if(Check(mid=l+r>>1)) l=mid+1;
        else r=mid-1;
//  Check(l);
    printf("%d",Ans);

    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/9162351.html