原根

最新推荐文章于 2022-10-12 21:31:12 发布

weixin_30446613

最新推荐文章于 2022-10-12 21:31:12 发布

阅读量137

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/dcoi-king/p/7600270.html

本文介绍了原根的概念及其证明过程。原根是指在一个模m下，满足特定条件的数a，其阶等于欧拉函数φ(m)。进一步讨论了原根的数量由φ(φ(m))给出，并解释了背后的数学原理。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原根

$满足a^r \equiv 1 (mod m)的最小r 表示a对模m的阶,记作\delta_{m}(a)$

$若\delta_{m}(a)=\varphi(m)，则称a是模m的原根$

$若m有原根,则原根个数为\varphi(\varphi(m))$
证明:
首先生成元的概念见算到31.4
对于任意一个$(a,m)=1$, 如果a是m的原根，那么 a 是整数模m乘法群（即加法群 $Z/mZ $的可逆元，也就是所有与 m 互素的正整数构成的等价类构成的乘法群）$Zm^*$ 的一个生成元,考虑这$\varphi(m)$个数:$a^1,a^2,... a^{\varphi(m)}$，如果$a^p$为原根，那么就要求，他的某个乘方是$a^1$，这个时候$p$和$\varphi(m)$互质，
所以原根个数为$\varphi(\varphi(m)).$

转载于:https://www.cnblogs.com/dcoi-king/p/7600270.html