算法第4章实践报告

1、实践题目

      7-1最优合并问题

2、问题描述

      给定k 个排好序的序列, 用 2 路合并算法将这k 个序列合并成一个序列。 假设所采用的 2 路合并算法合并 2 个长度分别为m和n的序列需要m+n-1 次比较。试设计一个算法确定合并这个序列的最优合并顺序，使所需的总比较次数最少。 为了进行比较，还需要确定合并这个序列的最差合并顺序，使所需的总比较次数最多。

3、算法描述

      定义两个整型变量ans1、ans2来分别记录最少和最多的比较次数。

      在计算最少的比较次数时，利用了哈夫曼树的思想，把最短的两个序列合并成一个序列，然后把合并的结果放入序列集合中，继续寻找当前序列集合中最短的序列并进行合并，直到所有序列合并在一起，结束。

 1     while(len>1){
 2         sort(a,a+len);
 3         ans1+=a[0]+a[1]-1;
 4         tem = a[0]+a[1];
 5         a[0] = tem;
 6         for(int i=1;i<len-1;i++){
 7            a[i] = a[i+1];
 8         }
 9         len=len-1;
10     }

       在计算最多的比较次数时，思路和最少次数是一样的，将哈夫曼树的思想逆转过来，把最长的两个序列合并成一个序列，然后把合并的结果放入序列集合中，继续寻找当前序列集合中最长的序列并进行合并，直到所有序列合并在一起，这样就可以得到最多的比较次数了。

bool cmp(int a,int b){
    return a>b;
}

1     sort(b,b+n,cmp);
2     for(int i=0;i<n-1;i++){
3         ans2+=b[i]+b[i+1]-1;
4         b[i+1]=b[i]+b[i+1];
5     }

4、算法时间及空间复杂度分析

      在计算最少的比较次数时，每次合并都要合并当前序列集合中两个最小的序列，总共要合并(n-1)次，每次合并完成后，要进行排序，因为用到的是快排，所以是O(nlogn)级的时间复杂度，(同时还有一个数组元素往前移动的处理为 O(n)级的时间复杂度)，综合起来，计算得到最少比较次数的时间复杂度是O(n^2logn)。在计算最多的比较次数时，由于最大值合并肯定还是新生成序列集合的最大值的特性，只需要进行一次排序，是O(nlogn)的时间复杂度，而数组元素前移的处理仅为O(n)级的时间复杂度，综合起来，计算得到最多比较次数的时间复杂度是O(nlogn)。所以总的时间复杂度是O(n^2logn)。

      由于申请了两个数组分别用来处理最多和最少的比较次数，所以空间开销是O(n)级别。

5、心得体会

      一开始和队友秒A了第三题，觉得很激动，所以说剩下两题一人看一道，结果我在看第一题的时候因为纠结在二路合并是什么东西这个点上，一直没有看懂这道题目想考察的知识点，结果很沮丧地和转战第二道删数问题和队友一起想。开始我们迸发出很多思路，有错误的，有太复杂的，有不知道怎么实现的，最后经过筛选再结合贪心算法的知识，我们得到了一个比较简单明了的操作算法，就是不断遍历这串数，当遍历到某个数，如果发现这个数比它下一个数要大，就把它删除。这就是贪心的思想，证明很简单，假设这个数是第n位，它的下一个数比它小，如果不删这个数是最优解，那我们可以发现，删了这个数，那么它的下一个数就是第n位了，得到一个比最优解更小的数，推出矛盾，所以这个数一定是要删除的。可惜的是这道题花的时间有点长，下课前没有足够的时间完成第一题。当听到其他同学说到第一题用哈夫曼树时，懵了一下，然后瞬间又是一波深深地自我鄙视。所以特别地把这道题拿出来进行分析。这次结对编程队友很给力，第二题像开挂了一样想出各种思路和方法，值得膜拜一下，这次躺分了，下次换我来带。     

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