差分约束系统学习笔记

最新推荐文章于 2025-03-14 21:22:45 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/zcdhj/p/9347906.html

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差分约束系统（System Of Difference Constraints），给定一组由 \(M\) 个不等式组成的 \(N\) 元一次不等式组，形如 \(x_i - x_j \leq a_k\)，可以求出这个不等式组的一组解。

观察一下 \(x_i - x_j \leq a_k\) 这个不等式，变形成 \(x_i \leq x_j + a_k\) 后，可以发现与图论中的最短路问题里的 “三角形不等式” 是一模一样的，那么直接对于每个不等式 \(x_i - x_j \leq a_k\) 从 \(j\) 点到 \(i\) 点连一条边权为 \(a_k\) 的边，然后跑最短路就行了，注意有负环的时候是无解的。

有些时候，会遇到 \(x_i - x_j \geq a_k\) 的不等式，可以转化为 \(x_j - x_i \leq a_k\) ，就跟上面一模一样了。

例题

给出 \(M\) 个形如 \(x_i - x_j \geq a_k\)，\(K\) 个形如 \(x_i - x_j \leq a_k\) 的不等式，求 \(x_n - x_1\) 的最大值，如无解输出 \(-1\)，差值最大可无限大输出 \(-2\)，正常情况输出 \(x_n - x_1\) 的最大值。

仔细分析一下，要求 \(x_n - x_1\) 的最大值，其实就是利用给出的不等式们求出 \(x_n - x_1\) 的解集。那么，直接按上面说的方法连边，点 \(N\) 到点 \(1\) 的最短路就是答案了。注意有负环的情况就是无解，点 \(1\) 点 \(N\) 不连通就是差值最大可无限大。

丢上代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <queue>

const int Inf = 0x3f3f3f3f;
const int MaxN = 1000 + 5;
const int MaxM = 10000 + 5;

int N, M, K, Tot;
int Dist[MaxN], Cnt[MaxN], FST[MaxN];
bool Vis[MaxN];
std::queue <int> Q;

struct Linker
{
    int to, w, nxt;
    Linker(){}
    Linker(int x, int y, int z)
    {
        to = y;
        w = z;
        nxt = FST[x];
    }
} E[MaxM << 1];

inline int read()
{
    register int x = 0;
    register char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch = getchar();
    while(isdigit(ch))
    {
        x = x * 10 + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    return x;
}     

inline void AddEdge(int x, int y, int z)
{
    E[++Tot] = Linker(x, y, z);
    FST[x] = Tot;
}

void SPFA()
{
    memset(Dist, Inf, sizeof(Dist));
    Dist[1] = 1;
    Q.push(1);
    while(!Q.empty())
    {
        int from = Q.front();
        Q.pop();
        Vis[from] = 0;
        for(int k = FST[from]; k; k = E[k].nxt) 
        {
            int to = E[k].to, w = E[k].w;
            if(Dist[to] > Dist[from] + w)
            {
                Dist[to] = Dist[from] + w;
                Cnt[to] = Cnt[from] + 1;
                if(Cnt[to] == N) 
                {
                    puts("-1");
                    exit(0);
                }
                if(!Vis[to])
                {
                    Q.push(to);
                    Vis[to] = 1;
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    N = read();
    M = read();
    K = read();
    for(int i = 1; i <= M; ++i)
    {
        int x = read(), y = read(), z = read();
        AddEdge(x, y, z);
    }
    for(int i = 1; i <= K; ++i)
    {
        int x = read(), y = read(), z = read();
        AddEdge(y, x, -z);
    }
    SPFA();
    if(Dist[N] == Inf) puts("-2");
    else printf("%d\n", Dist[N]);
    return 0;       
}

转载于:https://www.cnblogs.com/zcdhj/p/9347906.html