概率论08 随机变量的函数

　　随机变量的函数

　　在前面的文章中，我先将概率值分配给各个事件，得到事件的概率分布。

　　通过事件与随机变量的映射，让事件“数值化”，事件的概率值转移到随机变量上，获得随机变量的概率分布。

　　我们使用随机变量的函数，来定制新的随机变量。随机变量的函数是从旧有的随机变量到一个新随机变量的映射。通过函数的映射功能，原有随机变量对应新的随机变量。通过原有随机变量的概率分布，我们可以获知新随机变量的概率分布。事件，随机变量，随机变量函数的关系如下:

 

 

　　一个简单的例子是掷硬币。出现正面的话，我赢1个筹码，负面的话，我输1个筹码。那么，投掷一次，赢的筹码数是一个随机变量X，X可能取值为1和-1。因此X的分布为:

 　　换一个角度来思考，我们将正负面“换算”成输赢的钱。如果一个筹码需要10元钱买，那么投掷一次硬币，赢的钱是一个随机变量Y，且Y=10X，Y的分布为:

　　Y实际上是随机变量X的一个函数。X的1对应Y的10，X的-1对应Y的-10。即Y=10X。

　　小总结，在上面的实验中，硬币为正面为一个事件。赢得的筹码数为一个随机变量X。赢得的钱是X的函数Y，它也是一个随机变量。

　　随机变量的函数还可以是多变量函数，。Y的值y对应的是多维空间的点。比如掷硬币，第一次赢的筹码为，第二次赢的筹码为。我们可以构成一个新的随机变量 ，即两次赢得的筹码的总和。

 

获得新概率分布的基本方法

　　一个核心问题是，如何通过X的概率分布，来获得 的概率分布。基本的思路是，如果我们想知道Y取某个值y的概率，可以找到对应的X值x的概率。这两个概率相等。

 

　　因此，我们使用如下方法来获得Y的概率。如果有函数关系，获得Y分布的基本方法是:

1. 通过找到对应{Y≤y}的区间I。

2. 在区间I上，积分，获得P(Y≤y)。

3. 通过微分，获得密度函数。

 

　　如果有函数关系， 而X满足下面的分布:

 　　对于任意来说，

 　　对上面的F(y)微分，即获得密度函数

　　绘制密度函数 

 

　　上面的例子展示的是单变量函数，我们看一个多变量函数的例子。即 ,且已知 的联合分布为。我们需要找到满足的区间。

　　比如 ，且 满足如下分布:

　　为了让，我们可以让任意取值，而让 x2≤y−x1

　　让x_2 = v - x_1，有

　　微分，可得y的分布为:

　　上述方程也可以使用数值方法求解:

单变量函数的通用公式

　　上面求新的随机变量分布的步骤较为繁琐。在一些特殊情况下，我们可以直接代入通用公式，来获得新的分布。(通用公式实际上是从基本方法推导出的数学表达式)

　　对于单变量函数来说，如果 ，g是一个可微并且单调变化的函数 (在该条件，存在反函数，使得那么我们可以使用下面的通用公式，来获得Y的分布:

　　假设X为标准分布，即N(0,1)，且,那么，因此:

　　可以看到，新的分布是一个μ=1,σ=5的正态分布，即N(1,5)

　　并不是所有的函数都有反变换，所以这里的“通用”公式并不能适用于所有的情况。

 

多变量函数的通用公式

　　在一些特殊情况下，我们可以使用多变量函数的通用公式。

 

　　如果 ，且存在反变换，使得

那么，我们可以通过如下公式，从X,Y的分布获得U,V的联合分布:

J表示雅可比变换(Jacobian tranformation)，表示如下

如果X和Y是独立的随机变量，且有相同的分布。如果U=X+Y，V=Y,求U和V的联合分布。

由于X和Y独立，所以

根据U=X+Y，V=Y,可以得到, 且有:

Y=V

因此

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