堆排序

最新推荐文章于 2025-09-10 15:24:29 发布

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文章标签：数据结构与算法

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堆的定义、堆的存储和堆排序

堆的定义、堆的存储、堆排序

堆排序是一种树形选择排序方法，它的特点是，在排序过程中，将L[1..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系，在当前无序区中选择关键字最大（或最小）的元素。

堆的定义如下：

n个关键字序列L[1..n]称为堆，当且仅当该序列满足：① L(i)≤L(2i) 且 L(i)≤L(2i+1) 或 ② L(i)≥L(2i) 且 L(i)≥L(2i+1)，其中1≤i≤⌊n/2⌋。

满足情况①的堆称为小根堆，满足情况②的堆称为大根堆。堆的含义表明，完全二叉树中所有非终端结点的值均不大于（或不小于）其左、右孩子结点的值。

堆排序 Heap Sort这篇文章关于堆介绍的比较好，堆排序主要涉及两个问题：

如何由一个无序序列构造初始堆？

由于叶节点已经满足了堆的性质，所以只需从最后一个非叶子节点向下调整，然后从倒数第二个非叶子节点向下调整，...，最后从堆顶向下调整。这一过程可以参考白话经典算法系列之七堆与堆排序堆化数组这一部分

如何在输出堆顶元素后，调整剩余元素成为一个新堆？

输出堆顶元素（因为它是最值），将堆顶元素和最后一个元素交换，然后从堆顶向下调整

堆排序的实现

我的实现：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

/* 向下调整，即筛选 */
void adjustDown(int a[], int start, int n)
{
	// 根结点编号为1，对第start个元素进行调整
	a[0]=a[start]; // a[0]暂存
	for (int i=2*start;i<=n;i*=2) // 沿较大的子结点向下筛选
	{
		if (i<n&&a[i]<a[i+1])
		{
			i++; // 取较大的子结点的下标
		}
		if (a[0]>=a[i])
		{
			break; // 筛选结束
		}
		else
		{
			a[start]=a[i]; // 将a[i]调整到双亲结点上
			start=i; // 修改start，以便继续向下筛选
		}
	}
	a[start]=a[0]; // 被筛选结点的值放入最终位置
}

/* 堆排序 */
void heapSort(int a[], int n)
{
	for (int i=n/2;i>0;i--) // ① 初始建堆，从i=n/2 --> 1，反复向下调整
	{
		adjustDown(a,i,n);
	}

	for (int j=n;j>1;j--) // ② n-1趟的交换和建堆过程
	{
		swap(a[j],a[1]); // 输出堆顶元素（和堆底元素交换）
		adjustDown(a,1,j-1); // 把剩余的j-1个元素整理成堆
	}
}

int main()
{
	int a[]={0,16,20,3,11,17,8};
	heapSort(a,6);
	for (int i=1;i<=6;i++)
		cout << a[i] << " ";
	cout << endl;
	return 0;
}

堆排序和堆排序 Heap Sort中的实现都挺好的，前者中HeapAdjust用递归实现，后者HeapAdjust采用非递归实现。下面把他们分别贴出

/*堆排序(大顶堆) 2011.9.14*/ 

#include <iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

void HeapAdjust(int *a,int i,int size)  //调整堆 
{
    int lchild=2*i;       //i的左孩子节点序号 
    int rchild=2*i+1;     //i的右孩子节点序号 
    int max=i;            //临时变量 
    if(i<=size/2)          //如果i是叶节点就不用进行调整 
    {
        if(lchild<=size&&a[lchild]>a[max])
        {
            max=lchild;
        }    
        if(rchild<=size&&a[rchild]>a[max])
        {
            max=rchild;
        }
        if(max!=i)
        {
            swap(a[i],a[max]);
            HeapAdjust(a,max,size);    //避免调整之后以max为父节点的子树不是堆 
        }
    }        
}

void BuildHeap(int *a,int size)    //建立堆 
{
    int i;
    for(i=size/2;i>=1;i--)    //非叶节点最大序号值为size/2 
    {
        HeapAdjust(a,i,size);    
    }    
} 

void HeapSort(int *a,int size)    //堆排序 
{
    int i;
    BuildHeap(a,size);
    for(i=size;i>=1;i--)
    {
        //cout<<a[1]<<" ";
        swap(a[1],a[i]);           //交换堆顶和最后一个元素，即每次将剩余元素中的最大者放到最后面 
          //BuildHeap(a,i-1);        //将余下元素重新建立为大顶堆 
          HeapAdjust(a,1,i-1);      //重新调整堆顶节点成为大顶堆
    }
} 

int main(int argc, char *argv[])
{
     //int a[]={0,16,20,3,11,17,8};
    int a[100];
    int size;
    while(scanf("%d",&size)==1&&size>0)
    {
        int i;
        for(i=1;i<=size;i++)
            cin>>a[i];
        HeapSort(a,size);
        for(i=1;i<=size;i++)
            cout<<a[i]<<"";
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

第二个实现：

//堆筛选函数
//已知H[start~end]中除了start之外均满足堆的定义
//本函数进行调整，使H[start~end]成为一个大顶堆
typedef int ElemType;
void HeapAdjust(ElemType H[], int start, int end)
{

    ElemType temp = H[start];

    for(int i = 2*start + 1; i<=end; i*=2)
    {
        //因为假设根结点的序号为0而不是1，所以i结点左孩子和右孩子分别为2i+1和2i+2
        if(i<end && H[i]<H[i+1])//左右孩子的比较
        {
            ++i;//i为较大的记录的下标
        }

        if(temp > H[i])//左右孩子中获胜者与父亲的比较
        {
            break;
        }

        //将孩子结点上位，则以孩子结点的位置进行下一轮的筛选
        H[start]= H[i];
        start = i;
        
    }

    H[start]= temp; //插入最开始不和谐的元素
}

void HeapSort(ElemType A[], int n)
{
    //先建立大顶堆
    for(int i=n/2; i>=0; --i)
    {
        HeapAdjust(A,i,n);
    }
    //进行排序
    for(int i=n-1; i>0; --i)
    {
        //最后一个元素和第一元素进行交换
        ElemType temp=A[i];
        A[i] = A[0];
        A[0] = temp;

        //然后将剩下的无序元素继续调整为大顶堆
        HeapAdjust(A,0,i-1);
    }

}