UOJ#275. 【清华集训2016】组合数问题数位dp

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原文链接：http://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ275.html

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#数据结构与算法

本文介绍了一种使用卢卡斯定理将问题转化为k进制下的数位动态规划(DP)方法，以解决特定组合数学问题。通过补集转化技巧，简化了复杂度，提供了代码实现细节。

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题解

用卢卡斯定理转化成一个 k 进制意义下的数位 dp 即可。

算答案的时候补集转化一下会好写一些。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL read(){
	LL x=0,f=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch))
		f|=ch=='-',ch=getchar();
	while (isdigit(ch))
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
const int N=105,mod=1e9+7;
int T,k;
LL n,m;
int C[N][N];
int dp[64+5][2][2][2];
int vn[N],vm[N],cn,cm;
int calc(LL n,LL m){
	int a=(n+1)%mod,b=(n-m)%mod;
	a=1LL*a*(a+1)/2%mod;
	b=1LL*b*(b+1)/2%mod;
	a=(a-b+mod)%mod;
	return a;
}
void Add(int &x,int y){
	if ((x+=y)>=mod)
		x-=mod;
}
int DP(int d,int fe,int fn,int fm){
	if (!d)
		return 1;
	int &ans=dp[d][fe][fn][fm];
	if (~ans)
		return ans;
	ans=0;
	int ln=fn?vn[d]:k-1;
	int lm=fm?vm[d]:k-1;
	for (int i=0;i<=ln;i++)
		for (int j=fe?min(i,lm):lm;j>=0;j--)
			if (C[i][j])
				Add(ans,DP(d-1,fe&&i==j,fn&&i==vn[d],fm&&j==vm[d]));
	return ans;
}
void solve(){
	n=read(),m=read();
	m=min(n,m);
	int All=calc(n,m);
	if (k==1)
		return (void)(printf("%lld\n",All));
	cn=cm=0;
	memset(vn,0,sizeof vn);
	memset(vm,0,sizeof vm);
	while (n)
		vn[++cn]=n%k,n/=k;
	while (m)
		vm[++cm]=m%k,m/=k;
	memset(dp,-1,sizeof dp);
	cout << (All-DP(cn,1,1,1)+mod)%mod << endl;
}
int main(){
	T=read(),k=read();
	for (int i=0;i<k;i++)
		C[i][0]=C[i][i]=1%k;
	for (int i=1;i<k;i++)
		for (int j=1;j<k;j++)
			C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%k;
	while (T--)
		solve();
	return 0;
}

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