Cash Machine （POJ 1276）（多重背包——二进制优化）

最新推荐文章于 2021-11-11 13:45:35 发布

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#数据结构与算法

本文探讨了一道经典的01背包问题变种，通过将纸票数量转化为2的次幂形式存储，大幅降低了算法的时间复杂度。这种方法在面对大量纸票时，能更高效地求解不超过给定金额的最大可凑金额。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接：POJ - 1276

题意：给你一个最大金额m，现在有n种类型的纸票，这些纸票的个数各不相同，问能够用这些纸票再不超过m的前提下凑成最大的金额是多少？

题解：写了01背包直接暴力，结果T了，时间复杂度太高了，要跑外循环m和内循环所有的纸票的个数。这个题需要把每种纸票的的个数存的时候转化成2的次幂的形式来存，比如有8个$1，就可以存成1，2，4，1。这样就可以不存放8个1了，如果在个数大的情况下存储的也不会很多，因为转化成这样子，在1~8每一个都可以凑出来，随机搭配，另一方面，如果是8个$2，那么可以存的是2，4，8，2。是2~16之间的偶数都可以凑出来。这是转化成二进制存的好处，具体证明可以自己百度一下。

存的这个地方处理好了之后，剩下的用01背包跑一遍就可以了，我，板子当时记错了QAQ。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn = 420000;
ll a[maxn];
ll dp[maxn];
int main()
{
    ll n,m;
    while(~scanf("%lld",&m))
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        scanf("%lld",&n);
        ll i,j, x, y, cnt,sum,temp;
        cnt = 0;
        while(n --)
        {
            scanf("%lld %lld",&x,&y);
            temp = sum = 1;
            while(sum <= x)
            {
                a[cnt ++] = temp * y;
                temp *= 2;
                sum += temp;
            }
            if(sum - temp < x)
                a[cnt ++] = (x - (sum - temp)) * y;
        }
        for(i = 0; i < cnt; i ++)
        {
            for(j = m; j >= a[i]; j --)
            {
                dp[j] = max(dp[j],dp[j - a[i]] + a[i]);
            }
        }
        printf("%lld\n",dp[m]);
    }

    return 0;
}

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