解析整数中1的计数及最大满足条件的整数-优快云博客

一、题目

给定一个十进制的正整数，写下从1开始，到N的所有整数，然后数一下其中出现“1”的个数。要求：写一个函数 f(N) ，返回1 到 N 之间出现的 “1”的个数。例如 f(12) = 5。在32位整数范围内，满足条件的“f(N) =N”的最大的N是多少。

二、设计思路

思路来自于张欢龙的启发，就是将一个整数拆分，一位一位地求出“1”的个数，如451就是：

45*1+1*1

+4*10+1*10

+0*100+1*100。

先考虑个位，个位上数字0~9，总共出现过45个0~9，一个0~9有一个1，所以位45*1，而45个0~9外还有一个0~1，这时要再加上一个1；接着十位，每100个数里面均有*10到*19这10个出现1的数，所以十位也是0~9，但这里面的1要乘以10，4个0~9还多余一个0~5，所以也要加1，且乘以10；以此类推......

如果某一位上是1，是不是情况就不一样了？如111,111情况如下：

11*1+0+1

+1*10+1+1

+0*100+11+1

...

+(m前面的十进制值*10^m+m后面的十进制值+1（后面的值全为0的情况）)

就是当1出现时，这个多余的1的个数就为这一位后面的值。

求f(N)=N的情况时，从2147483647开始向下逐一计算，时间过长，随便选了一个数即214748364，用前面的算法求出结果发现f(N)>N,所以正确的N一定比这个数小，所以从这开始计算。

三、源代码

 1 //刘双渤，2015年6月3日
 2 //输入一个整数，输出出现1的个数
 3 #include <iostream>
 4 using namespace std;
 5 
 6 void main()
 7 {
 8     long num,rem,t,S;          //输入值，余数,十的倍数,一的总数
 9     long numS;
10     cout<<"请输入一个整数："<<endl;
11     cin>>num;
12 
13     t = 1;
14     S = 0;
15     numS = num;
16     while(numS != 0)
17     {
18         rem = numS % 10;
19         numS = numS / 10;
20         if(numS != 0)
21         {
22             S += numS * t;
23         }
24         
25         if(rem > 1)
26         {
27             S += t;
28         }
29         else if(rem == 1)
30         {
31             S = S + num -numS * t* 10 - rem * t + 1;
32         }
33         t = t * 10;
34     }
35     cout<<"出现的“1”的个数为："<<endl;
36     cout<<S<<endl;
37 
38 
39     for(long i = 214748364;i >= -214748364;i--)
40     {
41         t = 1;
42         S = 0;
43         numS = i;
44         while(numS != 0)
45         {
46             rem = numS % 10;
47             numS = numS / 10;
48             if(numS != 0)
49             {
50                 S += numS * t;
51             }
52             if(rem > 1)
53             {
54                 S += t;
55             }
56             else if(rem == 1)
57             {
58                 S = S + i -numS * t* 10 - rem * t + 1;
59             }
60             t = t * 10;
61         }
62         if(S == i)
63             break;
64     }
65     cout<<"满足条件的“f(N) =N”的最大的N是："<<S<<endl;
66 }