算法竞赛进阶指南道路与航线

最新推荐文章于 2023-12-08 11:39:20 发布

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/gzh-red/p/10995062.html

本文深入解析了SPFA算法及其在解决含有负权边的单源最短路径问题上的应用，通过一个具体的USACO题目实例，详细介绍了如何使用SLF优化的SPFA算法求解。文章涵盖了算法原理、代码实现及优化技巧，适合对算法感兴趣的读者。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原题链接

题目描述

农夫约翰正在一个新的销售区域对他的牛奶销售方案进行调查。

他想把牛奶送到T个城镇，编号为1~T。

这些城镇之间通过R条道路 (编号为1到R) 和P条航线 (编号为1到P) 连接。

每条道路i或者航线i连接城镇\(A_i\)到\(B_i\)，花费为\(C_i\)。

对于道路，\(0 \le C_i \le 10,000\);然而航线的花费很神奇，花费\(C_i\)可能是负数(\(-10,000 \le C_i \le 10,000\))。

道路是双向的，可以从\(A_i\)到\(B_i\)，也可以从\(B_i\)到\(A_i\)，花费都是\(C_i\)。

然而航线与之不同，只可以从\(A_i\)到\(B_i\)。

事实上，由于最近恐怖主义太嚣张，为了社会和谐，出台了一些政策保证：如果有一条航线可以从\(A_i\)到\(B_i\)，那么保证不可能通过一些道路和航线从\(B_i\)回到\(A_i\)。

由于约翰的奶牛世界公认十分给力，他需要运送奶牛到每一个城镇。

他想找到从发送中心城镇S把奶牛送到每个城镇的最便宜的方案。

输入格式

第一行包含四个整数T,R,P,S。

接下来R行，每行包含三个整数（表示一个道路）\(A_i,B_i,C_i\)。

接下来P行，每行包含三个整数（表示一条航线）\(A_i,B_i,C_i\)。

输出格式

第1..T行：第i行输出从S到达城镇i的最小花费，如果不存在，则输出“NO PATH”。

数据范围

\(1 \le T \le 25000\),
\(1 \le R,P \le 50000\),
\(1 \le A_i,B_i,S \le T\),

输入样例：

输出样例：

NO PATH
NO PATH
5
0
-95
-100

解题报告

题意理解

一道明显的单源最短路...

思路解析

首先看到这道题目,我们发现这道题目的复杂度,首先确定了是\(O(nlogn)\)级别的,所以说,我们的算法初步确定在dijskra和SPFA上面.

但是我们发现这道题目一个关键点,就是题目中出现了负权边.

一旦出现了负权边,那么我们只能使用SPFA.~~lyd大佬的算法过于复杂,我们还是来点容易的水水过去吧~~

但是对于USACO的题目而言,我们发现他们居然恶心地卡SPFA算法,那么我们不得不使用一些玄学优化.

对于SPFA算法而言,它的优化有两种,我们今天使用SLF优化算法.

众所周知,SPFA算法是一种鉴于队列的实现算法.每一次有节点加入队列都是加入队尾.

但是SLF优化,不同于一般的SPFA算法,它是一种利用双端队列算法处理的问题.

如果说当前点所花费的值少于我们当前队头点的值的话,那么我们就将这个节点插入到队头去,否则我们还是插入到队尾.

这个就是非常好用的SLF优化算法.

代码解析

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=400000 +100;
int head[N],ver[N],Next[N],edge[N],vis[N],dis[N],tot;
void add_edge(int a,int b,int c)
{
    edge[tot]=b;
    ver[tot]=c;
    Next[tot]=head[a];
    head[a]=tot++;
}
void spfa(int s)
{
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    deque<int> q;
    dis[s]=0;
    vis[s]=true;
    q.push_back(s);
    while(q.size())
    {
        int now=q.front();
        vis[now]=false;
        q.pop_front();
        for(int i=head[now]; ~i; i=Next[i])
        {
            int j=edge[i];
            if (dis[j]>dis[now]+ver[i])
            {
                dis[j]=dis[now]+ver[i];
                if (!vis[j])
                {
                    vis[j]=true;
                    if (q.size() && dis[j]<dis[q.front()])
                        q.push_front(j);
                    else
                        q.push_back(j);
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int t,r,p,s,x,y,z;
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin>>t>>r>>p>>s;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for(int i=1; i<=r; i++)
    {
        cin>>x>>y>>z;
        add_edge(x,y,z);
        add_edge(y,x,z);
    }
    for(int i=1; i<=p; i++)
    {
        cin>>x>>y>>z;
        add_edge(x,y,z);
    }
    spfa(s);
    for(int i=1; i<=t; i++)
    {
        if (dis[i]==0x3f3f3f3f)
            cout<<"NO PATH"<<endl;
        else
            cout<<dis[i]<<endl;
    }
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/gzh-red/p/10995062.html