Ural 1996 Cipher Message 3 (生成函数+FFT)

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原文链接：http://www.cnblogs.com/guapisolo/p/10353585.html

本文探讨了如何利用快速傅立叶变换（FFT）解决特定的字符串匹配问题，即在两个01串中找到最少转换次数使一串成为另一串的子串。通过将每8个字符一组的前7个字符压缩成数值并使用KMP算法，以及处理最后一字符的FFT卷积，实现了高效的匹配算法。

题面传送门

题目大意：给你两个$01$串$a$和$b$，每$8$个字符为$1$组，每组的最后一个字符可以在$01$之间转换，求$b$成为$a$的一个子串所需的最少转换次数，以及此时是从哪开始匹配的。

FFT怎么变成字符串算法了

每组的前$7$个字符是不能动的，所以把它压成一个数，用$kmp$求出$b$可能作为$a$子串的所有结束位置

求最少的转换次数呢，把$a,b$串每一组的最后一位取出来分别组成新串，再把$b$的新串反转求卷积即可

反转$b$串的目的是，让答案出现在同一个系数里，算是$FFT$进行字符串匹配的一个经典套路

  1 #include <cmath>
  2 #include <cstdio>
  3 #include <cstring>
  4 #include <algorithm>
  5 #define N1 (1<<19)
  6 #define M1 (N1<<1)
  7 #define il inline
  8 #define dd double
  9 #define ld long double
 10 #define ll long long
 11 using namespace std;
 12 
 13 int gint()
 14 {
 15     int ret=0,fh=1;char c=getchar();
 16     while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')fh=-1;c=getchar();}
 17     while(c>='0'&&c<='9'){ret=ret*10+c-'0';c=getchar();}
 18     return ret*fh;
 19 }
 20 
 21 const int inf=0x3f3f3f3f;
 22 namespace FFT{
 23 
 24 const dd pi=acos(-1);
 25 struct cp{
 26 dd x,y;
 27 friend cp operator + (const cp &s1,const cp &s2){ return (cp){s1.x+s2.x,s1.y+s2.y}; }
 28 friend cp operator - (const cp &s1,const cp &s2){ return (cp){s1.x-s2.x,s1.y-s2.y}; }
 29 friend cp operator * (const cp &s1,const cp &s2){ return (cp){s1.x*s2.x-s1.y*s2.y,s1.y*s2.x+s1.x*s2.y}; }
 30 }a[N1],b[N1],c[N1];
 31 int r[N1];
 32 void FFT(cp *s,int len,int type)
 33 {
 34     int i,j,k; cp wn,w,t;
 35     for(i=0;i<len;i++) if(i<r[i]) swap(s[i],s[r[i]]);
 36     for(k=2;k<=len;k<<=1)
 37     {
 38         wn=(cp){cos(2.0*type*pi/k),sin(2.0*type*pi/k)};
 39         for(i=0;i<len;i+=k)
 40         {
 41             w=(cp){1,0};
 42             for(j=0;j<(k>>1);j++,w=w*wn)
 43             {
 44                 t=w*s[i+j+(k>>1)];
 45                 s[i+j+(k>>1)]=s[i+j]-t;
 46                 s[i+j]=s[i+j]+t;
 47             }
 48         }
 49     }
 50 }
 51 void FFT_Main(int len)
 52 {
 53     int i;
 54     FFT(a,len,1); FFT(b,len,1);
 55     for(i=0;i<len;i++) c[i]=a[i]*b[i];
 56     FFT(c,len,-1);
 57     for(i=0;i<len;i++) c[i].x/=len;
 58 }
 59 void init()
 60 {
 61     memset(a,0,sizeof(a));
 62     memset(b,0,sizeof(b));
 63 }
 64 
 65 };
 66 
 67 int a[N1],b[N1],A[N1],B[N1],nxt[N1],ans[N1],num[N1];
 68 void get_nxt(int len)
 69 {
 70     int i=0,j=-1; nxt[0]=-1;
 71     while(i<len)
 72     {
 73         if(j==-1||b[i]==b[j]){ i++; j++; nxt[i]=j; }
 74         else { j=nxt[j]; }
 75     }
 76 }
 77 void KMP(int len)
 78 {
 79     int i=0,j=0;
 80     while(i<len)
 81     {
 82         if(j==-1||a[i]==b[j]){ i++; j++; ans[i]=j; }
 83         else{ j=nxt[j]; }
 84     }
 85 }
 86 
 87 int T,n,m;
 88 
 89 
 90 int main()
 91 {
 92 
 93     scanf("%d%d",&n,&m);
 94     int i,j,s,ret=inf,id,len,L; char str[10];
 95     memset(a,-1,sizeof(a)); memset(b,-1,sizeof(b));
 96     for(i=0;i<n;i++)
 97     {
 98         scanf("%s",str);
 99         for(j=0,s=0;j<7;j++) s=(s<<1)+str[j]-'0';
100         a[i]=s; A[i]=str[7]-'0';
101     }
102     for(i=0;i<m;i++)
103     {
104         scanf("%s",str);
105         for(j=0,s=0;j<7;j++) s=(s<<1)+str[j]-'0';
106         b[i]=s; B[m-i-1]=str[7]-'0'; 
107     }
108     for(len=1,L=0;len<n+m-1;len<<=1,L++);
109     for(i=0;i<len;i++) FFT::r[i]=(FFT::r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
110     
111     for(i=0;i<n;i++) FFT::a[i].x=(A[i]==0)?1:0;
112     for(i=0;i<m;i++) FFT::b[i].x=(B[i]==0)?1:0;
113     FFT::FFT_Main(len);
114     for(i=0;i<len;i++) num[i]+=(int)(FFT::c[i].x+0.1);
115     
116     FFT::init();
117     for(i=0;i<n;i++) FFT::a[i].x=(A[i]==1)?1:0;
118     for(i=0;i<m;i++) FFT::b[i].x=(B[i]==1)?1:0;
119     FFT::FFT_Main(len);
120     for(i=0;i<len;i++) num[i]+=(int)(FFT::c[i].x+0.1);
121     
122     get_nxt(m); KMP(n);
123     for(i=m;i<=n;i++)
124     {
125         if(ans[i]<m) continue;
126         if(m-num[i-1]<ret){ id=i-m+1; ret=m-num[i-1]; }
127     }
128     if(ret==inf) puts("No");
129     else{ puts("Yes"); printf("%d %d\n",ret,id); }
130     
131     return 0;
132 
133 }

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