[CSP-S模拟测试]:big（Trie树+贪心）

题目描述

你需要在$[0,2^n)$中选一个整数$x$，接着把$x$依次异或$m$个整数$a_1~a_m$。
在你选出$x$后，你的对手需要选择恰好一个时刻（刚选完数时、异或一些数后或是最后），将$x$变为$(\left \lfloor{\frac{2\times x}{2^n}}\right \rfloor \mod 2^n)$你想使$x$最后尽量大，而你的对手会使$x$最后尽量小。
你需要求出$x$最后的最大值，以及得到最大值的初值数量。

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输入格式

第一行两个整数$n,m$。
第二行$m$个整数$a_1~a_m$。

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输出格式

第一行输出一个整数，表示$x$最后的最大值。
第二行输出一个整数，表示得到最大值的初值数量。
第一个数正确得$6$分，两个数都正确再得$4$分。

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样例

样例输入

2 3
1 2 3

样例输出

1
2

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数据范围与提示

样例解释：

$x=0$时得到$0$，$x=1$时得到$1$，$x=2$时得到$1$，$x=3$时得到$0$。

数据范围：

对于$20\%$的数据，$n\leqslant 10$，$m\leqslant 100$。
对于$40\%$的数据，$n\leqslant 10$，$m\leqslant 1,000$。
对于另外$20\%$的数据，$n\leqslant 30$，$m\leqslant 10$。
对于$100\%$的数据，$n\leqslant 30$，$m\leqslant 100,000$，$0\leqslant a_i<2^n$。

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题解

注意上面那个神奇的式子：$(\left \lfloor{\frac{2\times x}{2^n}}\right \rfloor \mod 2^n)$。

刚一看时一脸懵，定睛一看……还是一脸懵……

其实没有那么难，这道题就是将$x$进行了逻辑左移，其实就是说将$x$左移了一位，并将最高为补到了最后面。

那么我们来退一下式子：

　　先设$q[i]$表示$a$数组的异或前缀和，对手在$i$时刻使出“技能”。

　　那么：$ans=((x\ xor\ a_i)\ll 1)xor(a_i\ xor\ a_m)$。

　　展开：$ans=(x\ll 1)xor(a_i\ll 1)xor\ a_i\ xor\ a_m$。

　　那么我们需要找的是一个$x$使其$xor(a_i\ll 1)xor\ a_i\ xor\ a_m$最大。

一般碰到$01$串的题就考虑$Trie$树，这道题一样，我们来构建一个$01Trie$数，将所有$a_i$逻辑左移的值$xor$起来，注意对手可以在一开始就使用“技能”，所以一开始要插入，依次$xor$其后缀和插入$Trie$树，然后在这棵$Trie$树上跑$DFS$即可。

在$DFS$时分为一下三种情况：

　　$\alpha.$当前节点既有$0$孩子，也有$1$孩子时，需要往两侧走，$ans$不变。

　　$\beta.$如果有$0$儿子，没有$1$儿子，那么往$0$儿子走一定更优。

　　$\gamma.$如果有$1$儿子，没有$0$儿子，同理，不再赘述。

统计答案排个序就好了。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int a[200000],sum[200000];
int trie[4000000][2],cnt=1;
int ans[4000000],ansss;
int flag;
void insert(int x)//插入
{
    int num=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!trie[num][(x>>(n-i)&1)])trie[num][(x>>(n-i)&1)]=++cnt;
        num=trie[num][(x>>(n-i)&1)];
    }
}
void dfs(int x,int num,int dep)//dfs
{
	if(dep<0)
	{
		ans[++ans[0]]=num;
		return;
	}
	if(!trie[x][0]&&trie[x][1])dfs(trie[x][1],num^(1<<dep),dep-1);//三种情况
	else if(trie[x][0]&&!trie[x][1])dfs(trie[x][0],num^(1<<dep),dep-1);
	else{dfs(trie[x][0],num,dep-1);dfs(trie[x][1],num,dep-1);}
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=m;i;i--)sum[i]=sum[i+1]^a[i];
	for(int i=0;i<=m;i++)
	{
		flag=flag^(2*a[i]/(1<<n)+2*a[i])%(1<<n);//逻辑左移
		insert(flag^sum[i+1]);//插入
	}
	dfs(1,0,n-1);
	sort(ans+1,ans+ans[0]+1);
	for(int i=ans[0];i;i--)
		if(ans[i]==ans[ans[0]])ansss++;
		else break;
	printf("%d\n%d",ans[ans[0]],ansss);
	return 0;
}

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rp++

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