●UOJ 34 多项式乘法

FFT快速傅里叶变换入门

最新推荐文章于 2025-09-11 19:19:55 发布

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#数据结构与算法

本文介绍了一道关于快速傅里叶变换（FFT）的入门题目，详细讲解了FFT的基本概念及其在序列卷积中的应用，并提供了递归版与非递归版的实现代码。

题链：

http://uoj.ac/problem/34

题解：

FFT入门题。

（终于接触到迷一样的FFT了）

初学者在对复数和单位根有简单了解的基础上，可以直接看《再探快速傅里叶变换》（毛啸）。

（主要用于求两个序列的卷积）

代码：

递归版：

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 300000
using namespace std;
const double Pi=acos(-1);
struct Z{
	double real,image;
	Z(double _real=0,double _image=0):real(_real),image(_image){}
	Z operator - ()const {return Z(-real,-image);}
	friend Z operator + (const Z &A,const Z &B){return Z(A.real+B.real,A.image+B.image);};
	friend Z operator - (const Z &A,const Z &B){return A+(-B);}
	friend Z operator * (const Z &A,const Z &B){return Z(A.real*B.real-A.image*B.image,A.image*B.real+A.real*B.image);}
};
void FFT(int n,Z *Y,int sn){
	if(n==1) return;
	Z L[n>>1],R[n>>1];
	for(int k=0;k<n;k+=2)
		L[k>>1]=Y[k],R[k>>1]=Y[k+1];
	FFT(n/2,L,sn); FFT(n/2,R,sn);
	Z dw=Z(cos(2*Pi/n),sin(sn*2*Pi/n)),w=Z(1,0),tmp;
	for(int k=0;k<n/2;k++,w=w*dw)
		tmp=w*R[k],Y[k]=L[k]+tmp,Y[k+n/2]=L[k]-tmp;
}
int main(){
	static Z A[MAXN],B[MAXN];
	int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); n++; m++;
	for(int i=0,x;i<n;i++) scanf("%d",&x),A[i]=Z(x,0);
	for(int i=0,x;i<m;i++) scanf("%d",&x),B[i]=Z(x,0);
	m=n+m-1; for(n=1;n<m;n<<=1);
	FFT(n,A,1); FFT(n,B,1);
	for(int i=0;i<n;i++) A[i]=A[i]*B[i];
	FFT(n,A,-1);
	for(int i=0;i<m;i++) printf("%d ",(int)(A[i].real/n+0.5));
	return 0;
}

非递归版：

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 300000
using namespace std;
const double Pi=acos(-1);
struct Z{
	double real,image;
	Z(double _real=0,double _image=0):real(_real),image(_image){}
	Z operator - ()const {return Z(-real,-image);}
	friend Z operator + (const Z &A,const Z &B){return Z(A.real+B.real,A.image+B.image);};
	friend Z operator - (const Z &A,const Z &B){return A+(-B);}
	friend Z operator * (const Z &A,const Z &B){return Z(A.real*B.real-A.image*B.image,A.image*B.real+A.real*B.image);}
};
int order[MAXN];
void FFT(int n,Z *Y,int sn){
	for(int i=0;i<n;i++) if(i<order[i]) swap(Y[i],Y[order[i]]);
	for(int d=2;d<=n;d<<=1){
		Z dw=Z(cos(2*Pi/d),sin(sn*2*Pi/d)),w,tmp;
		for(int i=0;w=Z(1,0),i<n;i+=d)
			for(int k=i;k<i+d/2;k++,w=w*dw)
				tmp=w*Y[k+d/2],Y[k+d/2]=Y[k]-tmp,Y[k]=Y[k]+tmp;
	}
}
int main(){
	static Z A[MAXN],B[MAXN];
	int n,m,len; scanf("%d%d",&n,&m); n++; m++;
	for(int i=0,x;i<n;i++) scanf("%d",&x),A[i]=Z(x,0);
	for(int i=0,x;i<m;i++) scanf("%d",&x),B[i]=Z(x,0);
	m=n+m-1; for(len=0,n=1;n<m;n<<=1) len++;
	for(int i=1;i<n;i++) order[i]=(order[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
	FFT(n,A,1); FFT(n,B,1);
	for(int i=0;i<n;i++) A[i]=A[i]*B[i];
	FFT(n,A,-1);
	for(int i=0;i<m;i++) printf("%d ",(int)(A[i].real/n+0.5));
	return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/zj75211/p/8341072.html