抽样分布与统计推断

抽样分布：

• χ2 分布
• t 分布
• F 分布

样本是进行统计推断（statistic inference）的依据。在应用时，往往不是直接使用样本本身，而是针对不同的问题构造样本的适当函数，利用这些样本的函数进行统计推断。

1. 常用统计量

设 X1,X2,…,Xn 是来自总体 X 的一个样本，g(X1,X2,…,Xn) 是 X1,X2,…,Xn 的函数，若 g(⋅) 中不含未知参数，则称 g(X1,X2,…,Xn)（函数）是一个统计量。

• 统计量是关于所抽样样本 X1,X2,…,Xn 的函数；
• 因为 X1,X2,…,Xn 都是随机变量，统计量 g(X1,X2,…,Xn) 是随机变量的函数，因此统计量也是随机变量；
• 统计量的分布称为抽样分布；

设 x1,x2,…,xn 是相应于样本 X1,X2,…,Xn 的样本值，则称 g(x1,x2,…,xn) 是 g(X1,X2,…,Xn) 的观察值。

2. 常见统计量

下面列出几个常用的统计量，设 X1,X2,…,Xn 是来自总体 X 的一个样本，x1,x2,…,xn 是这一样本的观察值。

• 样本均值：X¯=1n∑ni=1Xi
• 样本方差：S2=1n−1∑ni=1(Xi−X¯)2=1n−1(∑ni=1X2i−nX¯2)
• 样本标准差：S=1n−1∑ni=1(Xi−X¯)2−−−−−−−−−−−−−−−−√
• 样本的 k 阶原点矩（Xk=Xk−0）：Ak=1n∑ni=1Xki
• 样本的 k 阶中心矩：Bk=1n∑ni=1(Xi−X¯)k

3. χ2 分布

设 X1,X2,…,Xn 是来自总体 N(0,1) 的样本，则称统计量：

χ2=X21+X22+…+X2n

服从自由度为 n 的 χ2 分布，记为 χ2∼χ2(n)；

χ2 分布的可加性：

• χ21∼χ2(n1),χ22∼χ2(n2)，且二者相互独立 ⇒ χ21+χ22∼χ2(n1+n2)

χ2 分布的数学期望和方差，若 χ2∼χ2(n)，则有 E(χ2)=n,D(χ2)=2n

Xi∼N(0,1)，则有 E(X2i)=D(Xi)=1，D(X2i)=E(X4i)−(E(X2i))2=3!!−1=2，所以有，

3. χ2 分布的分位点

对于给定的正数 α，0<α<1，称满足条件：

P{χ2>χ2α(n)}=α=∫∞χ2α(n)f(y)dy

的点 χ2α(n) 位 χ2(n) 分布的上 α 分位点。

4. 例题

• 设 X1,X2,X3,X4 是来自正态整体 N(0,22) 的简单随机样本，记 Y=a(X1−2X2)2+b(3X1−4X2)2，已知 a,b 为常数，且 Y∼χ2(n)，则 n=?：

  χ2(n) 分布要求是多个标准正态分布的加和（至少是一个），X1−2X2∼N(0,20),3X1−4X2∼N(0,100)，因此 X1−2X220√∼N(0,1)，3X1−4X210∼(0,1)：

  • a=120，b=1100 ⇒ n = 2
  • a=120,b=0 或者 a=0,b=1100，n ⇒ 1

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