HYSBZ 3209: 花神的数论题-优快云博客

本文详细解释了解决花神提出的数论问题的方法，即计算从1到N的所有数的sum(i)乘积，其中sum(i)表示i的二进制表示中1的个数。通过分析二进制表示的特点，提出了使用记忆化搜索和快速幂算法来高效解决这个问题，并提供了完整的代码实现。

题目连接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3209

花神的数论题

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Description

背景
众所周知，花神多年来凭借无边的神力狂虐各大 OJ、OI、CF、TC …… 当然也包括 CH 啦。
描述
话说花神这天又来讲课了。课后照例有超级难的神题啦…… 我等蒟蒻又遭殃了。
花神的题目是这样的
设 sum(i) 表示 i 的二进制表示中 1 的个数。给出一个正整数 N ，花神要问你
派(Sum(i)),也就是 sum(1)—sum(N) 的乘积。

Input

一个正整数 N。

Output

一个数，答案模 10000007 的值。

Sample Input

样例输入一

3

Sample Output

样例输出一

2

Hint

对于样例一，1*1*2=2；

数据范围与约定

对于 100% 的数据，N≤10^15

题意：题目说的很清楚了，1到n每个数的sum值的乘积，sum表示其二进制中1的个数，比如5的二进制是101,有2个1,所以sum(5)=2；

思路：n很大，不可能把每一个sum(i)都算出来，但是仔细想想sum是表示二进制的个数，n在64位long long范围内，sum不可能大于64，这说明

有很多sum(i)的值是一样的，比如1010、1100、1001.....这些不同数的二进制的sum值都为2。这样就可以用cnt[k]表示有k个1的二进制数的个数

（0<=k<64)(其实达不到64)，题目要算乘积那就是cnt[k]个k相乘即k^cnt[k](这个用快速幂算)，然后枚举k去算cnt[k]，数位dp嘛，我用的是记忆化搜索

写的。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<set>
#include<vector>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e6+5;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mod=10000007;
typedef long long ll;
int a[100];
ll dp[65][65][65];
ll Pow(int a,ll n)//快速幂
{
    ll ans=1,tmp=(ll)a;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ans=(ans%mod)*(tmp%mod)%mod;
        tmp=(tmp%mod)*(tmp%mod)%mod;
        n>>=1;
    }
    return ans%mod;
}
ll dfs(int pos,int now,int all,int limit)
//pos是当前数位，now是已经选择的数位的和，all是所需的总和，
//limit是限制前一位有没有达到上限。
{
    if(pos==0)
        return now==all;
    if(limit==0 && dp[pos][now][all]!=-1) return dp[pos][now][all];
    int upper=limit?a[pos]:1;
    ll tmp=0;
    for(int i=0;i<=upper;i++)//数位只有0,1；
    {
        tmp+=dfs(pos-1,now+i,all,limit && i==a[pos]);
    }
    if(limit==0) dp[pos][now][all]=tmp;//记忆化
    return tmp;
}

ll solve(ll n)
{
    int pos=0;
    ll ans=1,cnt;
    while(n)
    {
        a[++pos]=n%2;
        n/=2;
    }
    memset(dp,-1,sizeof dp);
    for(int i=1;i<=pos;i++)
    {
        cnt=dfs(pos,0,i,1);
        ans=(ans%mod*Pow(i,cnt))%mod;
    }
    return ans%mod;
}
int main()
{
    ll n;
    while(~scanf("%lld",&n))
    {
   
        printf("%lld\n",solve(n));
    }
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/2445512490wh/p/4674931.html