树状数组(搬运自维基百科)-优快云博客

本文介绍了树状数组（Fenwick_tree）的基本概念及其在高效计算数列前缀和中的应用。主要内容包括树状数组的创建、修改及求和操作的具体实现方法，并提供了lowbit求法的示例代码。

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树状数组(Fenwick_tree)，最早由Peter M. Fenwick于1994年以A New Data Structure for Cumulative Frequency Tables为题发表在SOFTWARE PRACTICE AND EXPERIENCE。其初衷是解决数据压缩里的累积频率(Cumulative Frequency)的计算问题，现多用于高效计算数列的前缀和。它可以以 $O(\log n)$ 的时间得到 $\sum_{i=1}^N a[i]$ ，并同样以 $O(\log n)$ 对某项加一个常数。

基本操作:

　　1)新建；

　　2)修改；

　　3)求和；

lowbit求法：

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

新建:

定义一个数组 BIT，用以维护 $A$ 的前缀和，则:

$BIT_i=\sum_{i=i-lowbit(i)+1}^{i}A_i$

具体能用以下方式实现：

void build()
{
    for (int i=1;i<=MAX_N;i++)
    {
        BIT[i]=A[i];
        for (int j=i-1; j>i-lowbit(i); j--)
            BIT[i]+=A[j];
    }
}

修改:

假设现在要将 $A[i]$ 的值增加delta,

那么,需要将 $BIT[i]$ 覆盖的区间包含 $A[i]$ 的值都加上K.

这个过程可以写成递归,或者普通的循环.

需要计算的次数与数据规模N的二进制位数有关,即这部分的时间复杂度是O(LogN)

void edit(int i, int delta)
{
    for (int j = i; j <= MAX_N; j += lowbit(j))
        BIT[j] += delta;
}

求和:

假设我们需要计算 $\sum_{i=1}^{k}A_i$ 的值.

首先,将ans初始化为0，将i计为k.
将ans的值加上BIT[P]
将i的值减去lowbit(i)
重复步骤2～3，直到i的值变为0

int sum (int k)
{
    int ans = 0;
    for (int i = k; i > 0; i -= lowbit(i))
        ans += BIT[i];
    return ans;
}

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