luoguP2822-组合数问题（基础DP）-优快云博客

本文针对洛谷P2822题目提供了解题思路与AC代码实现。通过对组合数性质的研究，利用动态规划的方法离线计算出所有可能的结果。适用于组合数学与动态规划初学者。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2822

题意：输入T和k，有T组询问。每组询问输入n、m，求C(i,j)能模k的个数(0<=i<=n,0<=j<=min(i,m))。

思路：首先需要离线操作，因为n<=2000，我们可以把所有可能的n，m的结果全求出来。用dp[i][j]表示C(x,y)能模k的个数(0<=x<=i,0<=y<=min(x,m))，f[i][j]表示C(i,y)能模k的个数(0<=y<=min(i,m))，C[i][j]表示组合数C(i,j)能否整除k，若能，值为0，否则不为0。

则有如下状态转移方程：

C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%k

f[i][j]=f[i][j-1]+(C[i][j]==0)

dp[i][j]=dp[i-1][j]+f[i][j]

但是要注意边界的特殊情况。

AC代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn=2005;

int dp[maxn][maxn],f[maxn][maxn],C[maxn][maxn];
int T,k,n,m;

void init(){
    C[0][0]=1%k;
    for(int i=1;i<=2000;++i){
        C[i][0]=1%k;
        for(int j=1;j<=i;++j)
            C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%k;
    }

    f[0][0]=(C[0][0]==0);
    for(int i=1;i<=2000;++i){
        f[i][0]=(C[i][0]%k==0);
        for(int j=1;j<=i;++j)
            f[i][j]=f[i][j-1]+(C[i][j]==0);
    }

    dp[0][0]=f[0][0];
    for(int i=1;i<=2000;++i)
        for(int j=0;j<=i;++j)
            dp[i][j]=dp[i-1][min(i-1,j)]+f[i][j];
}
    
int main(){
    scanf("%d%d",&T,&k);
    init();
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(m>n) m=n;
        printf("%d\n",dp[n][m]);
    }
    return 0;
}