求图的强连通分量--tarjan算法-优快云博客

本文详细介绍Tarjan算法原理及实现步骤，通过DFS访问图中的每个节点并利用dfn和low值来确定强连通分量。文章包含算法核心代码示例，并以一道具体题目为例展示算法的应用。

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一:tarjan算法详解

◦思想：

◦

◦做一遍DFS，用dfn[i]表示编号为i的节点在DFS过程中的访问序号(也可以叫做开始时间）用low[i]表示i节点DFS过程中i的下方节点所能到达的开始时间最早的节点的开始时间。（也就是之后的深搜所能到达的最小开始时间）初始时dfn[i]=low[i]

◦

◦在DFS过程中会形成一搜索树。在搜索树上越先遍历到的节点，显然dfn的值就越小。

◦

◦DFS过程中，碰到哪个节点，就将哪个节点入栈。栈中节点只有在其所属的强连通分量已经全部求出时，才会出栈。

◦（对于一个强连通分量和一个指出去的有向边，在输出这个强连通分量的时候，那条指出去的边的终点已经作为一个强连通分量统计，并且出栈了。）

◦如果发现某节点u有边连到搜索树（栈）中栈里的节点v，则更新u的low 值为dfn[v](更新为low[v]也可以，更新为low可以算是压缩路径，速度略快）。

◦

◦如果一个节点u已经DFS访问结束，而且此时其low值等于dfn值，则说明u可达的所有节点，都不能到达任何在u之前被DFS访问的节点 ---- 那么该节点u就是一个强连通分量在DFS搜索树中的根。

◦

◦此时将栈中所有节点弹出，包括u,就找到了一个强连通分量

模板：void Tarjan(u) {/*注意小写的tarjan是关键字，还有index也是*/ dfn[u]=low[u]=++index stack.push(u)

for each (u, v) in E {
        if (v is not visted) {
            tarjan(v) 
            low[u] = min(low[u], low[v]) 
        }
        else if (v in stack) {
            low[u] = min(low[u], dfn[v]) /*这里是low[u] = min(low[u], low[v])也是可以的，因为如果这个点被访问了，而且仍然待在栈中，说明u---v是一条回边，那么这里用dfn[v]
low[v]都是相同了的*/ 
           } 
} if (dfn[u] == low[u]) 
{ //u是一个强连通分量的根  repeat v = stack.pop
 print v 
until (u== v) } //退栈，把整个强连通分量都弹出来 } //复杂度是O(E+V)的

例题：1001. [WZOI2011 S3] 消息传递（来源sojs.tk）

★★ 输入文件：messagew.in 输出文件：messagew.out 简单对比
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#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
#define N 100100
#include<vector>
vector<int>G[N];
vector<int>ans[N];
int clac=0;
bool inzhan[N];
#include<stack>
#include<cstring>
stack<int>s;
int low[N],dfn[N];
bool flag[N]={0},ok[N]={0};
int n,m;
int Index;
void input()
{
    Index=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int a,b;
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        G[a].push_back(b);
    }
    memset(inzhan,false,sizeof(inzhan));
    memset(dfn,-1,sizeof(dfn));
    memset(low,-1,sizeof(low));
}
void Tarjan(int k)
{
    int  j;
    dfn[k]=low[k]=++Index;/*tarjan过程，记录到达该点的时间，和从该点出发能到达的时间最小的点*/
    inzhan[k]=true;/*入栈*/
    s.push(k);
    for(int i=0;i<G[k].size();++i)
    {
        int tp=G[k][i];/*邻接表储存，G[k][i]表示从k点出发的第i条边的终点编号*/
        if(low[tp]==-1)
        {
            Tarjan(tp);
            low[k]=min(low[k],low[tp]);
        }
        else if(inzhan[tp])
        low[k]=min(low[tp],low[k]);
        /*整理总共有三种情况：未被访问，访问了但是是不是强连通分量还不知道（也就是仍在栈中），访问了已经出栈了（这种不用处理，因为如果这个点在好几个强连通分量中，那么他此时一定没有出栈。因为深搜嘛）*/
    }
    if(low[k]==dfn[k])/*low[k]==dfn[k]是这个强连通分量的标志，也就是起始位置，不能再向上找了*/
    {
        int l;
        clac++;/*强连通分量个数*/
        do{
        l=s.top();
        s.pop();
        ans[clac].push_back(l);
        inzhan[l]=false;
        }while(l!=k);
       if(ans[clac].size()>1)
       flag[clac]=true;/*记录这个强连通分量中的所有点是可以传话成功的，下面在重标记每一个点*/
    }
}
void OUT()
{
    for(int i=1;i<=clac;++i)
    if(flag[i])
    {
        for(int j=0;j<ans[i].size();++j)
        ok[ans[i][j]]=true;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
    if(ok[i])
    printf("T\n");
    else printf("F\n");
}
int main()
{
    freopen("messagew.in","r",stdin);
    freopen("messagew.out","w",stdout);
    input();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    if(dfn[i]==-1)
    Tarjan(i);
    OUT();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}