51nod 1743 雪之国度

最新推荐文章于 2025-08-10 21:15:24 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/xgtao/p/6017525.html

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#数据结构与算法

本文介绍了一种基于最小生成树的问题解决思路，通过构造最小生成树并利用倍增法来寻找图中两点间两条不相交路径的最大边权值最小的情况。适用于处理大量路径查询问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

给出一个有n(<=1e5)个点，m(<=5e5)条无向边的图，然后有q个询问（<=1e5），每次询问两个点u，v，询问他们之间两条及其以上没有重复边的路径，如果有，那么就选出两条路径使得组成这两条路径的边的最大值最小。

题解：

因为要求两条路径使得边的最大值最小，那么可以首先保证的是一条路径的边最小，那么就可以考虑先求一棵最小生成树以保证一条路径最小。

那么现在考虑将非树边的边从小到大加入生成树中，那么必定会在这条边的两个端点的LCA处形成一个环，环中的任意两点都会有两条路径，又因为是从小到大加入的，那么当前必定为最优解。更新环中的所有的点的值，更新过的不再更新。

对于询问u, v那么可以倍增到LCA，求路径最大值就好啦~

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 7;
const int INF = (1 << 31) - 1;
int dep[N], anc[20][N], maxi[20][N], w[N], vis[N], n, m, q, pa[N];
struct edge {int u, v;} E[N];

vector <int> e[N];

int find (int x)
{
	return x == pa[x] ? x : pa[x] = find (pa[x]);
}

bool cmp (edge a, edge b) 
{
	return abs(w[a.u] - w[a.v]) < abs(w[b.u] - w[b.v]);
}

void Dfs (int u, int pre) 
{
	anc[0][u] = pre, dep[u] = dep[pre] + 1;
	for (int i = 0; i < e[u].size(); ++i) 
	{
		int v = e[u][i];
		if (v != pre) Dfs (v, u);
	} 
}

void getans(int u, int v)
{
	int d = 0;
	if (dep[u] < dep[v]) swap (u, v);
	for (int i = 18; i >= 0; --i)
	{
		if (dep[anc[i][u]] >= dep[v]) 
		{
			d = max (d, maxi[i][u]);
			u = anc[i][u];
		}
	}
	while (u != v)
	{
		for (int i = 18; i >= 0; --i)
		{
			if (anc[i][u] == anc[i][v] && i) continue;
			d = max (d, max (maxi[i][u], maxi[i][v]));
			u = anc[i][u], v = anc[i][v];
		}
	}
	if (d == INF) puts("infinitely");
	else printf ("%d\n", d);
}

int main () 
{
	scanf ("%d%d%d", &n, &m, &q);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf ("%d", &w[i]);
	for (int i = 1; i <= m; ++i) 
		scanf ("%d%d", &E[i].u, &E[i].v);
	sort (E + 1, E + 1 + m, cmp);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) pa[i] = i;
	for (int i = 1; i <= m; ++i) 
	{
		int u = find (E[i].u), v = find (E[i].v);
		if (u != v) 
		{
			vis[i] = 1;
			pa[u] = v;
			e[E[i].u].push_back(E[i].v);
			e[E[i].v].push_back(E[i].u);
		}
	}
	Dfs (1, 0);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) pa[i] = i, maxi[0][i] = INF;
	for (int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		if (vis[i]) continue;
		int u = find (E[i].u), v = find (E[i].v);
		while (u != v)
		{
			if (dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
			maxi[0][u] = abs (w[E[i].u] - w[E[i].v]);
			pa[u] = anc[0][u];
			u = find(u);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= 18; ++i) 
	{
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
		{
			anc[i][j] = anc[i - 1][anc[i - 1][j]];
			maxi[i][j] = max (maxi[i - 1][j], maxi[i - 1][anc[i - 1][j]]);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= q; ++i)
	{
		int u, v;
		scanf ("%d%d", &u, &v);
		getans(u, v);
	}
	return 0;;
}

总结：

既然要求两条路，那么首先需要保证第一条路QAQ

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