中国剩余定理

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　　写完扩展欧几里得就要顺便写一下中国剩余定理。

　　首先，什么是中国剩余定理：中国最早提出来的，又名孙子定理的一个求一次同余方程组的方法。

　　对，就长上面这个样子（这是百度百科复制的图片）。看起来很复杂，那要怎么求解呢？

　　中国剩余定理的最早版本是有所有m互质的前提的，所以就来讲一讲如何处理互质的情况。

　　令N[i]能被m[1]、m[2]、...、m[i-1]、m[i+1]、...、m[n]整除，但除m[i]后余1.

　　令M为数组m的最小公倍数。

　　那么x=Σ(N[i]*a[i])+t*M为所有解,t为整数。

　　此时我们就得到了解。但是，N数组怎么求呢？

　　设x为一个数，y为一个数

　　N[i]能被m[1]、m[2]、...、m[i-1]、m[i+1]、...、m[n]整除，所以N[i]=M/m[i]*x

　　N[i]除m[i]后余1，所以N[i]=m[i]*y+1

　　联立以上两方程，可以得到，M/m[i]*x-m[i]*y=1，这个方程用扩展欧几里得很容易可以得到一组解。

　　得到解后就可以得到N[i]了，最后注意细节就好了。

　　HDU 1370为模板题。

#include <cstdio>
#define FOR(i, x, y) for(int i = x; i <= y; ++i)
int t, n, k, ans, M, day, a[20], m[20];
int e_gcd(int a, int b, int &x, int &y)//参数可为负数的扩展欧几里德定理
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int ans = e_gcd(b, a%b, x, y);
    int temp = x;
    if(a * b < 0)
    {
        x = -y;
        y = a / b * y - temp;
    }else
    {
        x = y;
        y = temp - a / b * y;
    }
    return ans;
}
int CRT(int a[], int m[], int k)//Chinese Remainder theory
{
    int ans = 0;
    M = 1;//最小公倍数
    FOR(i, 0, k-1) M *= m[i];
    FOR(i, 0, k-1)
    {
        int x, y, temp = M / m[i];
        e_gcd(temp, m[i], x, y);
        ans = (ans + a[i] * temp * x) % M;
    }
    return (ans % M + M) % M;
}
int main()
{
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        FOR(i, 1,100000)
        {
            m[0] = 23; m[1] = 28; m[2] = 33;
            FOR(j, 0, 2) scanf("%d", &a[j]);
            if(a[0] == -1) break;
            scanf("%d", &day);
            ans = CRT(a, m, 3);
            while(ans <= day) ans += M;
            printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n", i, ans-day);
        }
    }
    return 0;
}

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