【最短路】poj 1734 Sightseeing trip

最新推荐文章于 2021-09-17 20:02:28 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/qxyzili--24/p/10423686.html

本文深入探讨使用Floyd算法解决图论中的最小环问题，通过对比Dijkstra算法，介绍了Floyd算法在求解最短路径基础上寻找最小环的具体实现过程，包括路径记录和回溯方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

　　开头先放题目。防止走错》》》》

　　这道题呢，poj对我们英语不好的人简直不友好（百度翻译-> https://fanyi.baidu.com/）。

　　首先先说一下题意，n个点，由m条双向路连接。求从同一点开始结束的一条最短路。如果有好几条就随意输出一条（Special Judge 随便浪啊~）。

　　看到这道题，我的第一反应就是求最短路。然而如果直接求的话.......是0没错。所以，我们要找的其实是最小环。

　　而，一般的解决方法自然就是dijkstra：说实话，我没写过，不知道好不好写QAQ（闲的无聊你可以试试啊）。

　　我们把任意两个有边相连的结点i j的直接距离加上i j间不包含边(边i -> j)的最短路径当做一个环的权。

　　所以呢？好像求最短路径我们第一个想到的就是Dijkstra算法啊。然而Dijkstra所求的是一个点到所有点的最短距离。这个最短距离一定是ij的直接距离(如果i j连通)。

　　因此我们可以先将i j的边从图中删除(若i j不连通，就当然不用删除啦)，然后再用Dijkstra求新图中i、j的最短距离即可。

　　解决方法就出来了：我们每次在图中选取一条边，把它从图中删掉．然后对删掉的那条边所对应的2个点去进行Dijkstra，也就是m次Dijkstra。

　　然而，对不起，好慢。拒绝。逃】

　　所以介绍一个小东西（其实我也是刚学的，逃】）听说这玩意叫Folyd求最小环？？（管他叫啥，会用就行了QAQ）这里简单讲解一下。

　　Floyd->最小环？

　　基本的判环应该懂吧？（不懂的话，请点右上角的 X 谢谢）

　　那么，对于一个最小环（至少三个点），那么肯定有一个点与左右两侧的点是直接连接的(即不经其他点的松弛)。所以呢，我们来证明一下。

该图假设a<b<k，且ab间的路已找出（无环）。

　　首先假设k是会更新a点的最短路的最新点。我们看这个图，由于k点是最大的，而Floyd是从较小的点来循环的，所以可以保证是第一个环（最小）。所以这个小技巧其实就是裸的Floyd加一个记录路径啊。

Floyd的板子？（我没写过所以给你们copy一个同组大佬的）

void Floyd()
{
    for(int k=0;k<n;++k)
        for(int i=0;i<n;++i)
            for(int j=0;j<n;++j)
                    dj[i][j] = min(dj[i][j],dj[i][k]+dj[k][j]);
}

所以接下来如何记录路径..........?

　　第一种写法（开数组记录）：

　　先开一个矩阵pre，它的定义是这样的：pre(ij)的值如果为p，就表示i到j的最短行经为i->p...->j。也就是说p就是i到j的最短行径中的j之前的第1个点。然后就好做啦！

　　对于i j来说找出pre(i j)，值为p，就知道了路径i->p...->j；再去找pre(p j)，如果值为q，p到j的最短路径为p->q...->j；再去找pre(qj)，如果值为r，i到q的最短路径为q>r...-

>q；所以一再反复，就会得到答案。（如果你不会写？？那就慢走不送）

　　放代码。

if((dis[i][j]+mp[j][k]+mp[k][i])<minn) {
    minn=dis[i][j]+mp[j][k]+mp[k][i];
    cnt=0;
    num[++cnt]=k;
    int sl=j;
    while(sl!=i) {
    　　num[++cnt]=sl;
        sl=pre[i][sl];
    }
    num[++cnt]=i;
}

（代码极丑，不要照抄谢谢QAQ）

然后是第二种方法dfs回溯：

　　这个就好理解多了吧........那我就一句带过啦。

void get(int x,int y)
{
    int mid=pre[x][y];
    if(!mid){
        path[num++]=y;
        return ;
    }
    get(x,mid);
    get(mid,y);
}

最后放上完整代码（因为我写的只有第一种方法，所以自然就只放一个啦）

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int inf=9999999;
const int MA=105;
int n,m,minn,cnt;
int mp[MA][MA],dis[MA][MA],pre[MA][MA],num[105];

void floyd() {
    minn=inf;
    for(int k=1;k<=n;k++) {
        for(int i=1;i<k;i++)
            for(int j=i+1;j<k;j++)
                if((dis[i][j]+mp[j][k]+mp[k][i])<minn) {
                    minn=dis[i][j]+mp[j][k]+mp[k][i];
                    cnt=0;
                    num[++cnt]=k;
                    int sl=j;
                    while(sl!=i) {
                        num[++cnt]=sl;
                        sl=pre[i][sl];
                    }
                    num[++cnt]=i;
                }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                if(dis[i][j]>(dis[i][k]+dis[k][j])) {
                    dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
                    pre[i][j]=pre[k][j];
                }
    }
    return;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++) {
            pre[i][j]=i;
            if(i==j) mp[i][j]=dis[i][j]=0;
            else mp[i][j]=dis[i][j]=inf;
        }
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        mp[a][b]=min(mp[a][b],c);
        mp[b][a]=min(mp[b][a],c);
        dis[b][a]=min(dis[a][b],c);
        dis[a][b]=min(dis[b][a],c);
    }
    floyd();
    if(minn==inf) cout<<"No solution."<<endl;
    else 
        for(int i=cnt;i>=1;i--) cout<<num[i]<<" ";
    return 0;
}