什么是李代数

　对于SO(3)和SE(3)，李代数可定义于李群的正切空间上，描述了李群中元素局部性质，分别把它们记作小写的so(3)和se(3)。首先，给出通用的李代数的定义。

　　李代数由一个集合V，一个数域F和一个二元运算[]组成。如果它们满足以下几条性质，称(V,F,[])为一个李代数，记作g。

• 封闭性 ∀X,Y∈V,[XY]∈V
  
• 双线性 ∀X,Y,Z∈V,a,b∈F,
  
  [aX+bY,Z]=a[XZ]+b[YZ]      [Z,aX+bY]=a[ZX]+b[ZY]
  
   
• 自反性 ∀X∈V,[XX]=0
  
• 雅可比等价 ∀X,Y,Z∈V,[X,[YZ]]+[Z,[YX]]+[Y,[ZX]]
  

　　从表面上来看，李代数所需要的性质还是挺多的。其中二元运算被称为李括号。相比于群中的较为简单的二元运算，李括号表达了两个集合元素的差异。它不要求结合律，而满足反对称性，以及元素和自己做李括号之后为零的性质。作为类比，三维向量R3上定义的叉积×是一种李括号，因此g=(R3,R,×)构成了一个李代数。

三维旋转群与对应的李代数
　　SO(3)对应的李代数是定义在R3上的向量，我们记作ϕ。根据前面的推导，每个ϕ都可以生成一个反对称矩阵：

 

　　在此定义下，两个向量ϕ1,ϕ2的李括号为：[ϕ1,ϕ2]=Φ1Φ2−Φ2Φ1

　    由于ϕ 与反对称矩阵关系很紧密，在不引起歧义的情况下，就说so(3)的元素是3维向量或者3维反对称矩阵，不加区别：

so(3)={Φ=ϕ∧∈R3×3|ϕ∈R3}

　　至此，我们已清楚了so(3)so(3)的结构。它们是一个由三维向量组成的集合，每个向量对应到一个反对称矩阵，可以表达旋转矩阵的导数。

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