【题解】P2710 数列

最新推荐文章于 2025-01-02 19:00:00 发布

weixin_30293079

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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/tt66ea-blog/p/10991879.html

本文深入探讨了FHQ-Treap数据结构在区间操作中的应用，包括INSERT、DELETE、REVERSE、MAKE-SAME、GET-SUM、GET和MAX-SUM等操作的实现细节。通过讲解笛卡尔树建树、区间翻转、最大子段和等关键概念，提供了完整的代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

区间操作集大成者……？

可能吧……

by某位不愿意透露姓名的巨学
***
本题需要实现：

INSERT
DELETE
REVERSE
MAKE-SAME
GET-SUM
GET
MAX-SUM

共七个操作

全部操作都涉及到序列

于是我们考虑使用splay或者FHQ-treap实现

这里使用FHQ-treap
***
前置芝士

FHQ-treap

蛤？不会？左转度娘/必应娘/谷歌娘

区间翻转

左转P3391题解区，包教包会，不会不要钱~~本来就不要钱吧~~

最大子段和

左转P4513
***
非必要

笛卡尔树建树

实际上不用这个方法用暴力插入也能过，但可能需要卡卡常

卡常技巧
***
0.初始定义

struct note {
    int val;//节点权值
    int rd;//优先值
    int siz;//子树大小
    int ch[2];//左右儿子
    int tag;//翻转标记
    int cvr;//make-same标记
    int sum;//区间和
    int lmax,rmax,mmax;//最大子段和
    note() {
        ch[0]=ch[1]=val=siz=sum=tag=0;
        cvr=inf;
    }
    inline void clear() {
        ch[0]=ch[1]=val=siz=sum=tag=0;
        cvr=inf;
    }
};

-1.信息上传，标记下放

inline void up(int o) {
    int ls=t[o].ch[0],rs=t[o].ch[1];
    t[o].siz=t[ls].siz+t[rs].siz+1;
    t[o].sum=t[o].val+t[ls].sum+t[rs].sum;
    t[o].lmax=max(0,max(t[ls].lmax,t[ls].sum+t[rs].lmax+t[o].val));
    t[o].rmax=max(0,max(t[rs].rmax,t[rs].sum+t[ls].rmax+t[o].val));
    t[o].mmax=max(t[o].val,t[ls].rmax+t[rs].lmax+t[o].val);
    if (ls) {
        t[o].mmax=max(t[o].mmax,t[ls].mmax);
    }
    if (rs) {
        t[o].mmax=max(t[o].mmax,t[rs].mmax);
    }
}
inline void flip(int o) {
    swap(t[o].ch[0],t[o].ch[1]);
    swap(t[o].lmax,t[o].rmax);
    t[o].tag^=1;
}
inline void cvr(int o,int val) {
    t[o].cvr=t[o].val=val;
    t[o].sum=t[o].siz*val;
    t[o].mmax=max(t[o].val,t[o].sum);
    t[o].lmax=t[o].rmax=max(0,t[o].sum);
}
inline void down(int o) {
    int ls=t[o].ch[0],rs=t[o].ch[1];
    if (t[o].tag) {
        if (ls) {
            flip(ls);
        }
        if (rs) {
            flip(rs);
        }
    }
    if (t[o].cvr!=inf) {
        if (ls) {
            cvr(ls,t[o].cvr);
        }
        if (rs) {
            cvr(rs,t[o].cvr);
        }
    }
    t[o].tag=0;
    t[o].cvr=inf;
}

1.插入操作

第一个要实现的操作，然而并不是最简单的

我们可以选择暴力插入，但……

这样子做的时间复杂度是O(qlogn)的，其中q为插入序列中数的个数

如何优化？

笛卡尔树建树！

自行度娘具体方法，这里直接给出代码

inline int build(int len,int a[]) {
    top=0;
    int temp=new_node(a[1]);
    stk[++top]=temp;
    for(int i=2;i<=len;i++) {
        int last=0;
        int cur=new_node(a[i]);
        while(top&&t[stk[top]].rd>t[cur].rd) {
            up(stk[top]);
            last=stk[top];
            stk[top--]=0;
        }
        t[cur].ch[0]=last;
        up(cur);
        if (top) {
            t[stk[top]].ch[1]=cur;
            up(stk[top]);
        }
        stk[++top]=cur;
    }
    while(top) {
        up(stk[top--]);
    }
    return stk[1];
}

返回的是新建树的根

有了这个函数，insert就非常好写了

inline void insert(int pos,int len,int a[]) {
    int root1=build(len,a);
    int x,y;
    split(root,pos,x,y);
    root=merge(merge(x,root1),y);
}

时间复杂度O(q+logn),其中q为序列中数的个数
***
2.delete操作

把要删除的区间提取出来直接中序历删除即可

注意垃圾回收

void recycle(int o) {
    int ls=t[o].ch[0],rs=t[o].ch[1];
    if (!o) {
        return;
    }
    if (ls) {
        recycle(ls);
    }
    trash.push(o);
    if (rs) {
        recycle(rs);
    }
}

inline void remove(int pos,int len) {
    int x,y,z,u;
    split(root,pos+len-1,x,y);
    split(x,pos-1,z,u);
    recycle(u);
    root=merge(z,y);
}

时间复杂度O(logn+q)
***
3.REVERSE操作

左转文艺平衡树

注意标记下放

inline void reverse(int pos,int len) {
    int x,y,z,u;
    split(root,pos+len-1,x,y);
    split(x,pos-1,z,u);
    t[u].tag^=1;
    swap(t[u].lmax,t[u].rmax);
    swap(t[u].ch[0],t[u].ch[1]);
    root=merge(merge(z,u),y);
    return;
}

时间复杂度O(logn)
***
4.MAKE-SAME操作

全场最烦操作（因为要手动更新

inline void cover(int pos,int len,int val) {
    int x,y,u,z;
    split(root,pos+len-1,x,y);
    split(x,pos-1,z,u);
    t[u].val=t[u].cvr=val;
    t[u].sum=val*t[u].siz;
    t[u].lmax=t[u].rmax=max(0,t[u].sum);
    t[u].mmax=max(t[u].val,t[u].sum);
    t[u].tag=0;
    root=merge(merge(z,u),y);
}

时间复杂度O(logn)
***
5.三大询问

因为代码都很无脑就放一起了

inline int get_sum(int pos,int len) {
    int x,y,z,u;
    split(root,pos+len-1,x,y);
    split(x,pos-1,z,u);
    int ans=t[u].sum;
    root=merge(merge(z,u),y);
    return ans;
}
inline int get_max_sum(int pos,int len) {
    int x,y,z,u;
    split(root,pos+len-1,x,y);
    split(x,pos-1,z,u);
    int ans=t[u].mmax;
    root=merge(merge(z,u),y);
    return ans;
}
inline int ask_point(int pos) {
    int x,y,z,u;
    split(root,pos,x,y);
    split(x,pos-1,z,u);
    int ans=t[u].val;
    root=merge(merge(z,u),y);
    return ans;
}

时间复杂度O(logn)
***
最后，让我们看看核心函数：merge和split

void split(int x,int k,int &a,int &b) {
    if (!x||!k) {
        a=0;
        b=x;
        return;
    }
    down(x);
    if (k>t[t[x].ch[0]].siz) {
        a=x;
        split(t[x].ch[1],k-t[t[x].ch[0]].siz-1,t[x].ch[1],b);
        up(x);
    } else {
        b=x;
        split(t[x].ch[0],k,a,t[x].ch[0]);
        up(x);
    }
}
int merge(int x,int y) {
    if (x) {
        down(x);
    }
    if (y) {
        down(y);
    }
    if (!x||!y) {
        return x^y;
    }
    if (t[x].rd<t[y].rd) {
        t[x].ch[1]=merge(t[x].ch[1],y);
        up(x);
        return x;
    } else {
        t[y].ch[0]=merge(x,t[y].ch[0]);
        up(y);
        return y;
    }
}

遵循原则：用时间换安全

具体来讲，在写这两个函数的时候，能上传下放就上传下放，保障安全
***
最后的最后，一点个人感想

前前后后调了半个寒假，还是很有收获的

up,down,merge,split四个核心函数一定要好好理解，不然一出bug就……

放总体代码 ~~我知道你们只想看这个~~

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <string>
using namespace std;

inline int Random() {
    return (rand()<<15)|rand();
}

inline void read(int &x) {
    x=0;
    int f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') {
        if (ch=='-') {
            f=-1;
        }
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9') {
        x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    x*=f;
}

queue<int> trash;//????????
int root;//???????
const int inf=2e9;

struct note {
    int val;//??
    int rd;//???????
    int siz;//?????
    int ch[2];//???????
    int tag;//????????
    int cvr;//????????
    int sum;//???
    int lmax,rmax,mmax;//??????
    note() {
        ch[0]=ch[1]=val=siz=sum=tag=0;
        cvr=inf;
    }
    inline void clear() {
        ch[0]=ch[1]=val=siz=sum=tag=0;
        cvr=inf;
    }
};

int stk[500010],top;

struct fhq_treap {
    note t[200010];
    int cnt;
    //??????
    inline int q_malloc() {
        int x;
        return (!trash.empty()) ? (x=trash.front(),t[x].clear() , trash.pop() , x) : (++cnt);
    }
    //??????
    inline int new_node(int val) {
        int x=q_malloc();
        t[x].val=t[x].sum=t[x].mmax=val;
        t[x].lmax=t[x].rmax=max(0,val);
        t[x].rd=Random();
        t[x].siz=1;
        return x;
    }
    //?????
    inline void up(int o) {
        int ls=t[o].ch[0],rs=t[o].ch[1];
        t[o].siz=t[ls].siz+t[rs].siz+1;
        t[o].sum=t[o].val+t[ls].sum+t[rs].sum;
        t[o].lmax=max(0,max(t[ls].lmax,t[ls].sum+t[rs].lmax+t[o].val));
        t[o].rmax=max(0,max(t[rs].rmax,t[rs].sum+t[ls].rmax+t[o].val));
        t[o].mmax=max(t[o].val,t[ls].rmax+t[rs].lmax+t[o].val);
        if (ls) {
            t[o].mmax=max(t[o].mmax,t[ls].mmax);
        }
        if (rs) {
            t[o].mmax=max(t[o].mmax,t[rs].mmax);
        }
    }
    //????
    inline void flip(int o) {
        swap(t[o].ch[0],t[o].ch[1]);
        swap(t[o].lmax,t[o].rmax);
        t[o].tag^=1;
    }
    //????????????
    inline void cvr(int o,int val) {
        t[o].cvr=t[o].val=val;
        t[o].sum=t[o].siz*val;
        t[o].mmax=max(t[o].val,t[o].sum);
        t[o].lmax=t[o].rmax=max(0,t[o].sum);
    }
    //?????
    inline void down(int o) {
        int ls=t[o].ch[0],rs=t[o].ch[1];
        if (t[o].tag) {
            if (ls) {
                flip(ls);
            }
            if (rs) {
                flip(rs);
            }
        }
        if (t[o].cvr!=inf) {
            if (ls) {
                cvr(ls,t[o].cvr);
            }
            if (rs) {
                cvr(rs,t[o].cvr);
            }
        }
        t[o].tag=0;
        t[o].cvr=inf;
    }
    //???
    //len:??????a[]:?????????
    //?????????
    inline int build(int len,int a[]) {
        top=0;
        int temp=new_node(a[1]);
        stk[++top]=temp;
        for(int i=2;i<=len;i++) {
            int last=0;
            int cur=new_node(a[i]);
            while(top&&t[stk[top]].rd>t[cur].rd) {
                up(stk[top]);
                last=stk[top];
                stk[top--]=0;
            }
            t[cur].ch[0]=last;
            up(cur);
            if (top) {
                t[stk[top]].ch[1]=cur;
                up(stk[top]);
            }
            stk[++top]=cur;
        }
        while(top) {
            up(stk[top--]);
        }
        return stk[1];
    }
    //??????
    //a???????
    //b???????
    //x???????????
    //k??????????
    void split(int x,int k,int &a,int &b) {
        if (!x||!k) {
            a=0;
            b=x;
            return;
        }
        down(x);
        if (k>t[t[x].ch[0]].siz) {
            a=x;
            split(t[x].ch[1],k-t[t[x].ch[0]].siz-1,t[x].ch[1],b);
            up(x);
        } else {
            b=x;
            split(t[x].ch[0],k,a,t[x].ch[0]);
            up(x);
        }
    }
    //??????
    //x??????????
    //y??????????
    int merge(int x,int y) {
        if (x) {
            down(x);
        }
        if (y) {
            down(y);
        }
        if (!x||!y) {
            return x^y;
        }
        if (t[x].rd<t[y].rd) {
            t[x].ch[1]=merge(t[x].ch[1],y);
            up(x);
            return x;
        } else {
            t[y].ch[0]=merge(x,t[y].ch[0]);
            up(y);
            return y;
        }
    }
    //?????
    void recycle(int o) {
        int ls=t[o].ch[0],rs=t[o].ch[1];
        if (!o) {
            return;
        }
        if (ls) {
            recycle(ls);
        }
        trash.push(o);
        if (rs) {
            recycle(rs);
        }
    }
    //?????
    //pos??????
    //len????????
    //a[]???
    inline void insert(int pos,int len,int a[]) {
        int root1=build(len,a);
        int x,y;
        split(root,pos,x,y);
        root=merge(merge(x,root1),y);
    }
    //??????
    //pos???????????
    //len????????
    inline void remove(int pos,int len) {
        int x,y,z,u;
        split(root,pos+len-1,x,y);
        split(x,pos-1,z,u);
        recycle(u);
        root=merge(z,y);
    }
    //??????
    //pos???????????
    //len????????
    inline void reverse(int pos,int len) {
        int x,y,z,u;
        split(root,pos+len-1,x,y);
        split(x,pos-1,z,u);
        t[u].tag^=1;
        swap(t[u].lmax,t[u].rmax);
        swap(t[u].ch[0],t[u].ch[1]);
        root=merge(merge(z,u),y);
        return;
    }
    //?????
    //pos??????????
    //len???????
    //val?????
    inline void cover(int pos,int len,int val) {
        int x,y,u,z;
        split(root,pos+len-1,x,y);
        split(x,pos-1,z,u);
        t[u].val=t[u].cvr=val;
        t[u].sum=val*t[u].siz;
        t[u].lmax=t[u].rmax=max(0,t[u].sum);
        t[u].mmax=max(t[u].val,t[u].sum);
        t[u].tag=0;
        root=merge(merge(z,u),y);
    }
    inline int get_sum(int pos,int len) {
        int x,y,z,u;
        split(root,pos+len-1,x,y);
        split(x,pos-1,z,u);
        int ans=t[u].sum;
        root=merge(merge(z,u),y);
        return ans;
    }
    inline int get_max_sum(int pos,int len) {
        int x,y,z,u;
        split(root,pos+len-1,x,y);
        split(x,pos-1,z,u);
        int ans=t[u].mmax;
        root=merge(merge(z,u),y);
        return ans;
    }
    inline int ask_point(int pos) {
        int x,y,z,u;
        split(root,pos,x,y);
        split(x,pos-1,z,u);
        int ans=t[u].val;
        root=merge(merge(z,u),y);
        return ans;
    }
};

fhq_treap ft;
int n,m;

inline void read_str(char p[]) {
    char ch=getchar();
    int len=0;
    while(!isalpha(ch)&&ch!='-') {
        ch=getchar();
    }
    while(isalpha(ch)||ch=='-') {
        p[len++]=ch;
        ch=getchar();
    }
}

int a[4000010];

int main() {
    srand((unsigned)time(0));
    read(n),read(m);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        read(a[i]);
    }
    root=ft.build(n,a);
    int pos,len,val;
    string s;
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        cin>>s;
        if (s=="INSERT") {
            read(pos),read(len);
            for(int i=1;i<=len;i++) {
                read(a[i]);
            }
            ft.insert(pos,len,a);
        } else if(s=="DELETE") {
            read(pos),read(len);
            ft.remove(pos,len);
        } else if (s=="REVERSE") {
            read(pos),read(len);
            ft.reverse(pos,len);
        } else if (s=="MAKE-SAME") {
            read(pos),read(len),read(val);
            ft.cover(pos,len,val);
        } else if (s=="MAX-SUM"){
            read(pos),read(len);
            printf("%d\n",ft.get_max_sum(pos,len));
        } else if (s=="GET-SUM") {
            read(pos),read(len);
            printf("%d\n",ft.get_sum(pos,len));
        } else {
            read(pos);
            printf("%d\n",ft.ask_point(pos));
        }
    }
    return 0;
}

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