luoguP3750 [六省联考2017]分手是祝愿概率期望DP + 贪心-优快云博客

本文介绍了一种结合状压动态规划与贪心策略解决特定类型数学问题的方法。通过计算从状态i到i-1的期望步数，利用递推公式解决了复杂问题。对于i大于k的情况给出了具体的转移方程，并说明了i小于等于k时的特殊情况处理方式。此外，还详细解释了如何通过枚举和位运算来确定初始状态的最小步数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

...........真的神状态了，没办法去想的状态...................

考试的时候选择$50$分贪心+$15$分状压吧，别的点就放弃算了........

令$f[i]$表示从最小步数为$i$时走到最小步数为$i - 1$的状态的期望步数

（所以题目中的$k$实际上是个提示...........................）

那么当$i > k$时，有$f[i] = \frac{i}{n} + \frac{n - i}{n} * (1 + f[i] + f[i + 1])$

移项后转移就是递推式了

当$i \leqslant k$时，有$f[i] = f[i + 1] + 1$

怎么求解初始状态的最小步数呢？

可以发现，我们一定是从$n$慢慢点到$1$最优

那么，$1$个点会不会被点就跟它的倍数有多少个$1$有关

倒叙枚举$i$，再枚举$i$的倍数看看就好了.....

复杂度$O(n \log n)$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;

extern inline char gc() {
    static char RR[23456], *S = RR + 23333, *T = RR + 23333;
    if(S == T) fread(RR, 1, 23333, stdin), S = RR;
    return *S ++;
}
inline int read() {
    int p = 0, w = 1; char c = gc();
    while(c > '9' || c < '0') { if(c == '-') w = -1; c = gc(); }
    while(c >= '0' && c <= '9') p = p * 10 + c - '0', c = gc();
    return p * w;
}

#define ri register int
#define sid 200500

const int mod = 100003;
int n, k, nj = 1, mis, ans;
int inv[sid], f[sid], v[sid];

int main() {
    n = read(); k = read();
    for(ri i = 1; i <= n; i ++) v[i] = read();

    for(ri i = n; i >= 1; i --)
    for(ri j = i + i; j <= n; j += i) v[i] ^= v[j];
    for(ri i = 1; i <= n; i ++) mis += v[i];

    inv[1] = 1;
    for(ri i = 2; i <= n; i ++)
    inv[i] = 1ll * (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
    for(ri i = 1; i <= n; i ++) nj = 1ll * nj * i % mod;

    for(ri i = n; i > k; i --)
    f[i] = (n + 1ll * (n - i) * f[i + 1] % mod) * inv[i] % mod;
    for(ri i = k; i; i --) f[i] = 1;
    
    for(ri i = 1; i <= mis; i ++) (ans += f[i]) %= mod;
    printf("%d\n", 1ll * ans * nj % mod); 
    return 0;
}