数组最大差值问题

给定一个整数数组，a[1],a[2],...,a[n]，每一个元素a[i]可以和它右边的（a[i+1],a[i+2],...,a[n]）元素做差，求这个数组中最大的差值，例如a={0,3,9,1,3,5}这个数组最大的差值就是9-1=8;

解答：

1）这个题目最直接的想法就是穷举，时间代价是O(n^2)，即检查每个元素与其右边元素差值的最大值，伪代码如下：

int solve_sub(int *a,int n)

{

int max=INT_MIN;

for(int i=n-1;i>=1;i++)

{

for(int j=i+1;j<=n;j++)

{

if(a[i]-a[j]>max)

max=a[i]-a[j];

}

}

return max;

}

2）下面给出一个O(n)复杂度的算法，利用DP的思想，定义S[i]为a[i]与其右边元素之差的最大值，那么状态转移方程为：

s[i]=a[i]-a[i+1]      if s[i+1]<0   (表明a[i+1]是从i+1到n所有元素中最小的一个)

s[i]=s[i+1]+a[i]-a[i+1]  if s[i+1]>=0  

初始情况为s[n]=0，伪代码如下：

//求数组元素与其右边元素做差，差值的最大值时间o(n)空间O(n)

void sovle_maxSub_Dp(int *a, int n){

int *S=new int[n+1]();

int max_value=INT_MIN;

int max_index=0;

for(int i=n-1;i>=1;i--){

S[i]=S[i+1]<0?a[i]-a[i+1]:a[i]-a[i+1]+S[i+1];

if(max_value<S[i]){

max_value=S[i];

max_index=i;

}

}

cout<<"最大差值为："<<max_value<<",对应的两个元素为："<<endl;

cout<<"数组中第"<<max_index<<"个元素:"<<a[max_index]<<endl;

for(int i=max_index+1;i<=n;i++){

if(a[max_index]-a[i]==max_value){

cout<<"数组中第"<<i<<"个元素:"<<a[i]<<endl;

break;

}

}

}

同最长递增/递减子序列的问题解法类似，这个题目的空间还可以优化为O(1)，因为当前S[i]只依赖于其后面的S[i+1]，我们只用一个变量S即可表示当前的状态，循环从i=n-1 to 1，初始状态就是S=S[n] 不断更新这个状态即可，代码如下：

//求数组元素与其右边元素做差，差值的最大值时间o(n)空间O(1)

void sovle_maxSub_Dp_OptimalSpace(int *a, int n){

int S=0;

int max_value=INT_MIN;

int max_index=0;

for(int i=n-1;i>=1;i--){

S=S<0?a[i]-a[i+1]:a[i]-a[i+1]+S;

if(max_value<S){

max_value=S;

max_index=i;

}

}

cout<<"最大差值为："<<max_value<<",对应的两个元素为："<<endl;

cout<<"数组中第"<<max_index<<"个元素:"<<a[max_index]<<endl;

for(int i=max_index+1;i<=n;i++){

if(a[max_index]-a[i]==max_value){

cout<<"数组中第"<<i<<"个元素:"<<a[i]<<endl;

break;

}

}

}

转载于:https://www.cnblogs.com/kevinLee-xjtu/archive/2011/12/14/2299087.html