过河卒

本文探讨了一个经典的棋盘路径问题,即过河卒如何避开马的控制点,从A点到达B点。通过动态规划算法计算可行路径数量,提供了一个C++实现示例。

过河卒
题目描述
棋盘上AA点有一个过河卒,需要走到目标BB点。卒行走的规则:可以向下、或者向右。同时在棋盘上CC点有一个对方的马,该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马拦过河卒”。

棋盘用坐标表示,AA点(0, 0)(0,0)、BB点(n, m)(n,m)(nn, mm为不超过2020的整数),同样马的位置坐标是需要给出的。

现在要求你计算出卒从AA点能够到达BB点的路径的条数,假设马的位置是固定不动的,并不是卒走一步马走一步。

输入输出格式
输入格式:
一行四个数据,分别表示BB点坐标和马的坐标。

输出格式:
一个数据,表示所有的路径条数。

输入输出样例
输入样例#1: 复制
6 6 3 3
输出样例#1: 复制
6
说明
结果可能很大!

#include <cstdio>
#include <cstring>  
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;


int main()
{
    int n,m,nn,mm,i,j;
    long long f[100][100];
    cin>>n>>m>>nn>>mm;
    nn++; mm++; n++; m++;

    memset(f,0,sizeof(f)); f[0][1]=1;
    for (i=1;i<=n;i++)
      for (j=1;j<=m;j++)
        if ((abs(i-nn)+abs(j-mm)==3)&&(i!=nn)&&(j!=mm)||(i==nn&&j==mm));
          else f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1];

    cout<<f[n][m];

    return 0;
    }


转载于:https://www.cnblogs.com/wuzetian/p/9900402.html

过河问题有不同的场景,以下是几种常见情况的解决方案: ### 无障碍物的过河问题 在无障碍物的情况下,可使用动态规划求解。令 $dp[i][j]$ 表示从左上角 $(1,1)$ 到 $(i,j)$ 的路径数,状态转移方程为 $dp[i][j]=dp[i - 1][j]+dp[i][j - 1]$,即到达 $(i,j)$ 的路径数等于到达 $(i - 1,j)$ 和到达 $(i,j - 1)$ 的路径数之和。对于第一行和第一列,路径数都为 $1$,因为只能向下向右走。最终的答案即为 $dp[n][m]$。 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int n,m; int main() { scanf("%d%d",&n,&m); int a[n + 2][m + 2] = {0}; for(int i = 1; i <= n; ++i) { for(int j = 1; j <= m; ++j) { if(i == 1 || j == 1) a[i][j] = 1; else a[i][j] = a[i - 1][j]+a[i][j - 1]; } } cout << a[n][m]; return 0; } ``` ### 有马作为障碍物的过河问题 棋盘上 A 一个过河,需要走到目标 B 行走规则为可以向下或者向右。同时在棋盘上 C 一个对方的马,该马所在的和所有跳跃一步可达的称为对方马的控制。 ```cpp int main() { int n,m,x,y; cin >> n >> m >> x >> y; vector<pair<int,int>> directions = {{-2,-1},{-2,1},{-1,-2},{-1,2},{1,-2},{1,2},{2,-1},{2,1}}; vector<vector<long long>> dp(n + 1, vector<long long>(m + 1, 0)); vector<vector<bool>> is_blocked(n + 1, vector<bool>(m + 1, false)); is_blocked[x][y] = true; for(const auto& dir : directions) { int new_x = x + dir.first; int new_y = y + dir.second; if(new_x >= 0 && new_x <= n && new_y >= 0 && new_y <= m) { is_blocked[new_x][new_y] = true; } } if(!is_blocked[0][0]) { dp[0][0] = 1; } for(int i = 1; i <= m; i++) { if(!is_blocked[0][i]) { dp[0][i] = dp[0][i - 1]; } } for(int j = 1; j <= n; j++) { if(!is_blocked[j][0]) { dp[j][0] = dp[j - 1][0]; } } for(int i = 1; i <= n; i++) { for(int j = 1; j <= m; j++) { if(!is_blocked[i][j]) { dp[i][j] = dp[i][j - 1]+dp[i - 1][j]; } } } cout << dp[n][m] << endl; return 0; } ``` ### 走两条不重合路线的过河问题 利用动态规划转空间为时间,把数据记录下来,同时走两条路线,只要不重合即可。 ```cpp #include <cstdio> #include <iostream> #include <cmath> #include <cstring> #define maxx(A,B,C,D) max(max(A,B),max(C,D)) using namespace std; int m,n,heart[55][55],f[110][55][55]; int main() { scanf("%d%d",&m,&n); for(int i = 1; i <= m; i++) for(int j = 1; j <= n; j++) scanf("%d",&heart[i][j]); for(int k = 1; k <= n + m - 2; k++)//k代表步数,这样就可以不用4维数组,减少一维 for(int i = 1; i <= m && i <= k + 1; i++) for(int j = 1; j <= m && j <= k + 1; j++) { if(i == j && k != n + m - 2) continue; f[k][i][j] = maxx(f[k - 1][i - 1][j],f[k - 1][i][j - 1],f[k - 1][i - 1][j - 1],f[k - 1][i][j]) + heart[i][k + 2 - i] + heart[j][k + 2 - j];//减少一维表示 } printf("%d",f[m + n - 2][m][m]); return 0; } ```
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