【数学建模】偏最小二乘回归分析（PLSR）

最新推荐文章于 2025-06-19 16:44:23 发布

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文章标签： python matlab 人工智能

原文链接：http://www.cnblogs.com/duye/p/9395298.html

本文介绍了偏最小二乘回归（PLSR）的基本原理，结合MATLAB详细展示了如何进行PLSR建模。通过实例解释了如何使用MATLAB的plsregress函数，并给出了回归方程、主成分得分、贡献率和剩余标准差等关键结果。

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PLSR的基本原理与推导，我在这篇博客中有讲过。

0.
偏最小二乘回归集成了多元线性回归、主成分分析和典型相关分析的优点，在建模中是一个更好的选择，并且MATLAB提供了完整的实现，应用时主要的问题是：

注意检验，各种检验参数：有关回归的检验以及有关多元分析的检验

系数众多，容易混淆

要清楚原理才能写好论文

注意matlab函数plsregress的众多返回值

例如累计贡献度，建模时最好列出表格

1.

问题：

自变量组 X = [x1,x2…xn] （n组自变量）

因变量组 Y = [y1,y2,…yp] （p组因变量）

考虑到X、Y内部之间的多重相关性，可以使用PLSR建立Y对X的多元回归模型。这是一种多对多回归的模型。

偏最小二乘回归的实现步骤：

X、Y标准化。若考虑标准化的不对等特性，考虑实现对应分析。

求相关系数矩阵。可以把X、Y统一放到一个增广矩阵中，实现求列向量之间的相关系数矩阵（corrcoef实现无需标准化，直接使用原始数据）

求主成分对。（求出自变量与因变量的成分，类似于典型相关分析）这里对数其实是min(n-1,p)。求出<u1,v1>、<u2,v2>… 实际上，u、v是原始变量标准化后的线性组合、即投影。

计算贡献率表格。计算前k个主成分u对原始变量X的贡献率、v对Y的贡献率（函数直接返回结果）。

根据贡献率表格，选取k个主成分对。一般累计贡献率达到90%合适。

求出原始变量X对这k个主成分u的回归方程以及Y对u的（不是v！）回归方程。

根据6的结果，可以求出因变量组Y与自变量组X的回归方程，但这其实是标准化了的（常数项一定是0），进一步可以还原为真实原始变量的回归方程，这也是我们所要求得的。

模型的解释与检验。

首先得进行一个回归检验：判定系数R方的检验（接近于1)。计算每一个回归方程的R方，可以列出表格。

之后进行交叉有效性检验：交叉系数Qh方 = 1 – （PRESS(h) / SS(h-1)）。这是从主成分分析的角度的检验，即检验提取的k个主成分。（这个检验比较复杂，详细看推导）

2.

MATLAB实现命令：

[XL,YL,XS,YS,BETA,PCTVAR,MSE,stats] = plsregress(X,Y,ncomp)

param:

　　X: 标准化后的原始X数据，每行一个数据组，每列是一项指标，即一个自变量

　　Y：标准化后的原始Y数据，每行一个数据组，每列是一项指标，即一个因变量

　　ncomp：选取的主成分对数

return：

　　XL：自变量的负荷量矩阵。维度是（自变量数*ncomp）。每行是原始数据X对主成分u的回归表达式的系数

　　YL：因变量的负荷量矩阵。维度是（自变量数*ncomp）。每行是原始数据Y对主成分u的回归表达式的系数

　　XS：对应于主成分u的得分矩阵(得分说的是主成分的值)。每列是一个主成分得分向量。

　　　　如：每一列是一个主成分ui的值！列数是主成分数。