二进制整数的乘除运算

最新推荐文章于 2022-11-10 08:52:55 发布

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二进制整数的乘除运算

前言

运算一直视程序执行其中一个重要的环节,而在二进制的运算过程其中,加法运算有时重中之重,他基本上奠定了二进制运算的基础.因此不管是减法还是乘法,都能够由加法运算来取代,只有除法不能取代.

了解了计算机运算的规律,能够有助于我们理解非常多程序代码上无法理解的内容能够.比方上一张提出的溢出问题,在了解了加法运算的原理之后,相信大家都能够轻松您的知道为何有些运算会得到意想不到的结果.

这里还须要提到一点,不同的处理器所採取的运算方式可能有细微的区别,因此也不能一概而论.因此我们大多数时候会尽量讨论运算的而抽象数据特性,抽象的东西大部分时候总是可靠的,这样的特性为跨平台提供了基础,只是也并不是是总是如此,毕竟本屌仅仅听说过浮点数运算标准,没听过整数运算标准.可能有,可是本屌没听过.

正因如此,我们了解一下运算的抽象性,会有助于我们理解程序代码级无法理解的东西.

无符号乘法

无符号的乘法与加法类似,他的运算方式是比較简单的,仅仅是也可能产生溢出.对于两个w位的无符号来说,他们的乘积范围在0到(2的w次方-1)的平方之间,因此可能须要2w位的二进制才干表示.因此因为位数的限制,如果两个w位的无符号数的真实乘积为pro,依据截断的规则,则实际得到的乘积为pro mod 2的w次方

补码乘法

与加法运算类似,补码乘法也是家里在无符号的基础之上的,因此我们能够非常easy得到,对于两个w位的补码来说,如果他们的真实乘积为pro,则实际得到的乘积为U2Tw(pro mod 2的w次方)

上面的式子我们有一个如果,就是如果对于w位的两个补码数来说,他们的乘积的低w位于无符号数乘积的低w位是一样的.这意味着计算机能够使用一个指令运行无符号和补码的乘法运算.

证明过程略过了,就是利用无符号编码和补码编码的关系.

乘法运算的优化

依据我们小学学的乘法运算,我们知道,如果两个w位的二进制数相乘,则须要进行w次与运算,然后进行w-1次加法运算才干得到结果.从此不难看出,乘法运算的时间周期是非常长的.因此计算机界的大神们出山了,他们相处了一个能够优化乘法运算的方法,就是使用移位运算和加法来取代乘法.

上述有花的前提是对于一个w位的二进制数来说,它与2

的k次方的乘积,等同于这个二进制数左移k位,在低位补k个0.证明过程有兴趣的同学自己看看,我反正没兴趣.事实上还是主要应用了无符号编码的公式.

有了上面的基础,我们就能够使用移位和加法对乘法优化了.对于随意一个整数y,他总是能使用二进制序列表示(如果不超过二进制的表示范围),因此我们将x和y乘积的二进制序列表示为例如以下形式:

x * y = x * (yw-12w-1 + ... + y020) = (x << w-1) * yw-1 +....+ (x << 0 ) * y0

举个样例,对于x*17,,我们能够计算x*16+x=(x<<4)+x,这样算下来的话,我们仅仅需一次移位一次加法就能够搞定了.而对于x*14来说,则能够计算x*8+x*4+x*2=(x<<3)+(x<<2)+(x<<1),更快的方式我们能够直接这样做:x*16-x*2=(x<<4)-(x<<1).

这里最后须要提一下的是,加法,减法和移位的速度并不会总快于乘法运算,因此是否要进行上面的优化就取决于二者的速度了.

无符号除法

除法和乘法不同,出发不满足假发的分配率,也就是设y=m+n,x/y!=x/m+x/n,更不幸的是,它有时候会比乘法运算更慢,可是我们仅仅探讨仅仅能针对除数可表示为2的k次方的除法运算进行优化,转换为算术右移或者逻辑右移k位的运算(无符号数为逻辑右移,为正数时,逻辑右移与算术右移效果一样).

由于是除法,因此我们会涉及到舍入的问题.

先看案例:

int a = 17;

int b = 8;

int c = a / b;

Console.WriteLine("a:" + Convert.ToString(a,2));

Console.WriteLine("b:" + Convert.ToString(b, 2));

Console.WriteLine("c:" + Convert.ToString(c, 2));

Console.WriteLine("a >> 3:" + Convert.ToString(a>>3, 2));

还是C#代码,这段程序的结果能够看出a/b的结果就是a右移3位的结果,就是结果等于a>>3

无符号数除以2的k次方等价于右移k位.证明过程不说了,记住结论.

不知道你发现了没有,乘法是左移,乘法是右移.

补码除法

哟与刚才我们的程序使用的都是正数,因此尽管C#中没有无符号数,只是我们能够模拟出无符号数的结果.也能够觉得,补码除法在被除数为正数的情况下,与无符号除法是一样的效果(暂别考虑除数为负数的情况了,由于被除数与除数的符号位能够相互抵消,下面也一样),只是当被除数为负数时就不同了.这里在介绍补码除法之前,我们先来看一下,当a为负数时的结果,也就是此时会採用补码编码.