Codeforces.547C.Mike and Foam(容斥/莫比乌斯反演)

质因数与互质数对计数

最新推荐文章于 2022-05-04 12:11:03 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/SovietPower/p/9297375.html

本文介绍了一种通过质因数分解来计算集合中互质数对数量的方法，并提供了两种不同的实现方案。一种是直接遍历质因数进行计算，另一种则采用反演的思想提高效率。

题目链接

\(Description\)

给定n个数(\(1\leq a_i\leq 5*10^5\))，每次从这n个数中选一个，如果当前集合中没有就加入集合，有就从集合中删去。每次操作后输出集合中互质的数对个数。

\(Solution1\)

考虑暴力一点，对于要修改的数分解质因数，集合中与它互质的数的个数就是 n-(有1个公共质因数)+(有2个公共质因数)-...
维护一下每种因子(可以是多个因数的积)对应集合中的多少个数就行。

真的好暴力。。但是一个数的质因子大多也就4.5个，so是没问题的。
（\(2*3*5*7*11*13*17>5*10^5\)，所以质因子的个数不会超过6个）

唉一道水题写了一个多小时。。(写法有问题还一直T)

//171ms 4700KB
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 200000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
const int N=2e5+5,MAX=5e5+3;

int n,Q,A[N],now,have[N],num[MAX],bit[23333],pcnt,P[N],cnt,p[233];
long long Ans;
bool not_P[MAX];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;

inline int read()
{
    int now=0;register char c=gc();
    for(;!isdigit(c);c=gc());
    for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
    return now;
}
void Pre(int n)
{
    for(int i=2; i<=n; ++i)
    {
        if(!not_P[i]) P[++pcnt]=i;
        for(int j=1; j<=pcnt && i*P[j]<=n; ++j)
        {
            not_P[i*P[j]]=1;
            if(!(i%P[j])) break;
        }
    }
    for(int i=1,s=0; i<=5000; ++i,s=0)
    {
        for(int j=0; j<=13; ++j)
            if(i>>j & 1) ++s;
        bit[i]=s;
    }
}
void Div(int x)
{
    cnt=0;
    for(int i=1; i<=pcnt&&P[i]*P[i]<=x; ++i)//P[i]*P[i]<=x not P[i]<=x！不然就成O(n)的了！
        if(!(x%P[i]))
        {
            p[cnt++]=P[i];
            while(!(x%P[i])) x/=P[i];
        }
    if(x!=1) p[cnt++]=x;
}
void Add(int x,int val)
{
    Div(A[x]);
    long long ans=~val?now++:--now;//与除x以外的产生影响 
    for(int i=1; i<(1<<cnt); ++i)
    {//枚举因子组合。。
        int fac=1;
        for(int j=0; j<cnt; ++j)
            if(i>>j & 1) fac*=p[j];
        if(val==-1) --num[fac];//不能算x本身！
        if(bit[i]&1) ans-=num[fac]; else ans+=num[fac];
        if(~val) num[fac]++;
    }
    Ans+=(long long)val*ans;
}

int main()
{
    n=read(), Q=read(); int mx=0;
    for(int i=1; i<=n; ++i) mx=std::max(mx,A[i]=read()), have[i]=-1;
    Pre(mx); int x;
    while(Q--)
        have[x=read()]*=-1, Add(x,have[x]), printf("%I64d\n",Ans);
    return 0;
}

\(Solution2\)

　　gcd=1。。考虑反演。
　　令\(f(d)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[\gcd(a_i,a_j)=d]\)，\(F(d)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[d\mid\gcd(a_i,a_j)]\)，那么\[f(1)=\sum_{i=1}^n\mu(i)F(i)\]
　　令\(num[d]\)为含有\(d\)因子的数的个数，则\(F(d)=C_{num[d]}^2\)
　　这样每次操作只需要修改其因子的num即可。

//452ms 6600KB(因为要枚举因数而不是只需要枚举质数 有点慢了)
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
const int N=2e5+5,MAX=5e5+5;

int n,cnt,A[N],P[N],mu[MAX],have[N],num[MAX];
long long Ans;
bool not_P[MAX];

inline int read()
{
    int now=0;register char c=gc();
    for(;!isdigit(c);c=gc());
    for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
    return now;
}
void Pre(int n)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2; i<=n; ++i)
    {
        if(!not_P[i]) P[++cnt]=i, mu[i]=-1;
        for(int j=1; j<=cnt&&i*P[j]<=n; ++j)
        {
            not_P[i*P[j]]=1;
            if(i%P[j]) mu[i*P[j]]=-mu[i];
            else {mu[i*P[j]]=0; break;}
        }
    }
}
void Add(int x,int val)
{
    for(int i=1; i*i<=x; ++i)//包括1啊→_→
        if(!(x%i))
        {
            Ans-=1ll*mu[i]*num[i]*(num[i]-1)>>1, num[i]+=val;
            Ans+=1ll*mu[i]*num[i]*(num[i]-1)>>1;
            if(i*i!=x)
            {
                int j=x/i;
                Ans-=1ll*mu[j]*num[j]*(num[j]-1)>>1, num[j]+=val;
                Ans+=1ll*mu[j]*num[j]*(num[j]-1)>>1;
            }
        }
}

int main()
{
    n=read(); int Q=read(),mx=0;
    for(int i=1; i<=n; ++i) mx=std::max(mx,A[i]=read()), have[i]=-1;
    Pre(mx); int x;
    while(Q--)
        have[x=read()]*=-1, Add(A[x],have[x]), printf("%I64d\n",Ans);
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/9297375.html