树状数组(一维)

最新推荐文章于 2025-06-15 15:44:23 发布

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本文主要介绍树状数组相关知识。定义了顶端结点C[]数组，阐述利用C[i]数组求A数组前i项和的区间查询方法，通过二进制形式演示计算过程。还说明了当修改A[]数组某值时更新C[]数组的单点更新方法，最后提及区间更新和区间查找的相关内容。

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变形一下

现在定义每一列的顶端结点C[]数组

下面说代码

int lowbit(int t)
{
return t&(-t);
}
//-t 代表t的负数计算机中负数使用对应的正数的补码来表示
//例如 :
// t=6（0110）此时 k=1
//-t=-6=(1001+1)=(1010)
// t&(-t)=(0010)=2=2^1

C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];

C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];

区间查询

ok 下面利用C[i]数组，求A数组中前i项的和

举个例子 i=7;

sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7] ; 前i项和

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]; C[6]=A[5]+A[6]; C[7]=A[7];

可以推出: sum[7]=C[4]+C[6]+C[7];

序号写为二进制: sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)];

再举个例子 i=5

sum[5]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5] ; 前i项和

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]; C[5]=A[5];

可以推出: sum[5]=C[4]+C[5];

序号写为二进制: sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)];

细细观察二进制树状数组追其根本就是二进制的应用

结合代码

int getsum(int x)
{
int ans=0;
for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
ans+=C[i];
return ans；
}

对于i=7 进行演示

7(111) ans+=C[7]

lowbit(7)=001 7-lowbit(7)=6(110) ans+=C[6]

lowbit(6)=010 6-lowbit(6)=4(100) ans+=C[4]

lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000)

对于i=5 进行演示

5(101) ans+=C[5]

lowbit(5)=001 5-lowbit(5)=4(100) ans+=C[4]

lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000)

*************************************************分割线

单点更新

当我们修改A[]数组中的某一个值时应当如何更新C[]数组呢？

回想一下区间查询的过程，再看一下上文中列出的图

结合代码分析

void add(int x,int y)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
tree[i]+=y;
}
//可以发现更新过程是查询过程的逆过程
//由叶子结点向上更新C[]数组

如图：

当更新A[1]时需要向上更新C[1] ,C[2],C[4],C[8]

C[1], C[2], C[4], C[8]

写为二进制 C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)]

1(001) C[1]+=A[1]

lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010) C[2]+=A[1]

lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100) C[4]+=A[1]

lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000) C[8]+=A[1]

区间更新,区间查找

对于sum1数组的修改同问题2中对d数组的修改。

对于sum2数组的修改也类似，我们给 sum2[l] 加上 l * x，给 sum2[r + 1] 减去 (r + 1) * x。

 1 void add(ll p, ll x){
 2     for(int i = p; i <= n; i += i & -i)
 3         sum1[i] += x, sum2[i] += x * p;
 4 }
 5 void range_add(ll l, ll r, ll x){
 6     add(l, x), add(r + 1, -x);
 7 }
 8 ll ask(ll p){
 9     ll res = 0;
10     for(int i = p; i; i -= i & -i)
11         res += (p + 1) * sum1[i] - sum2[i];
12     return res;
13 }
14 ll range_ask(ll l, ll r){
15     return ask(r) - ask(l - 1);
16 }