判断是否是2的N次方——证明x & (x - 1)==0的正确性

　　判断一个整数x是否是2的N次方。

　　方法之一是判断x & (x - 1)==0。若为True，则x是2的N次方；若为False，则x不是2的N次方。

　　有人质疑，他证明了“2的n次方一定符合这个条件”， 却并没有证明“符合这个条件的一定是2的n次方”呀！更没有证明“不符合条件的一定不是2的n次方”呀。

　　

　　现在，从两个方面来证明这个方法的正确性

　证明之前，先给出一些定义

　　&运算的定义：A & B 表示将A和B转化为二进制，然后按照对位&运算。

　　例如：17 & 9

　　　　10001₂　　=17₁₀

　　&　    101₂ =9₁₀

　　------------------------

　　　　00001₂ =1₁₀

　　而对位&运算的定义如下：

　　1 & 1=1　　；　　1 & 0=0　　；　　0 & 1=0　　；　　0 & 0=0

　　对位&运算还有如下性质：

　　A & 1=A　　；　　A & 0=0　　；　　A & A=A　　；　　A & B=B & A　　此时：A，B=0或1

　　

　　定义：

　　X=x₁x₂……x_n-1x_n，其中x_i=1或0，1≤i≤n，n>0。显然X>0（当X≤0，没有讨论的意义）

　　给定正整数X，X是2的N次方的充要条件是X转化成二进制后，有且只能有一个1，其余的都是0

　　也就是说，若X是2的N次方，则x₁=1，x₂=……=x_n-1=x_n=0

　　　　　　　若X不是2的N次方，则至少存在一个j，x_j=1，1<j≤n

　　

　先证明“2的N次方符合X & (X - 1)==0条件”

　　当X=1时，1 & 0 =0，满足条件

　　当X>1时，且X是2的N次方

　　如定义：X=100……0　　（n-1个0，n>1）

　　　　　　X-1=11……1　　（n-1个1，n>1）

　　则X & X-1是

　　　　　100……0₂　　=X₁₀

　　&　   　11……1₂=X-1₁₀

　　------------------------

　　　　　　00……0₂=0₁₀

 

　　满足条件　

 

　再证明“不是2的N次方不符合X & (X - 1)==0条件”

　　分两种情况，

　　1、X是奇数，则X=x₁x₂……x_n-1x_n，x₁=x_n=1，故X=1x₂……x_n-11

　　　　则X-1=1x₂……x_n-10

　　　　则X & X-1是

　　　　　1x₂x₃……x_n-11₂　　=X₁₀

　　&　    1x₂x₃……x_n-10₂=X-1₁₀

　　------------------------------------

　　　　　1x₂x₃……x_n-10₂ ≠0₁₀

 　　　　不满足X & (X - 1)==0的条件

　　2、X是偶数，则X=x₁x₂……x_n-1x_n，x₁=1，x_n=0

　　　　由于X不是2的N次方，因此x₁，x₂……x_n-1中至少有两个为1。设x_j是最右边的1

　　　　则X=1x₂……x_j-1x_j0……0=1x₂……x_j-110……0 　　1<j<n，最右边有n-j个0

　　　　则X-1=1x₂……x_j-101……1　　　　　　　　　　　1<j<n，最右边有n-j个1

　　　　则X & X-1

　　　　　1x₂……x_j-110……0₂　　=X₁₀

　　&　    1x₂……x_j-101……1₂=X-1₁₀

　　--------------------------------------

　　　　　1x₂……x_j-100……0₂ ≠0₁₀

　　　　不满足X & (X - 1)==0的条件　　

　　综上所述，当X不是2的N次方的时候，是不满足X & (X - 1)==0的条件的

 

　　因此，当X是2的N次方的时候X & (X - 1)==0成立，当X不是2的N次方的时候X & (X - 1)==0不成立。

 

　　故判断X（X>0）是否是2的N次方的方法，判断X & (X - 1)==0是否成立，是可行的。

作者： 万仓一黍

出处： http://grenet.cnblogs.com/