堆排序

      堆排序的时间复杂度是O(nlgN)，与快速排序达到相同的时间复杂度。但是在实际应用中，我们往往采用快速排序而不是堆排序。这是因为快速排序的一个好的实现，往往比堆排序具有更好的表现。堆排序的主要用途，是在形成和处理优先级队列方面。另外，如果计算要求是类优先级队列（比如，只要返回最大或者最小元素，只有有限的插入要求等），堆同样是很适合的数据结构。   

1、堆排序定义

二叉堆的定义：二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。

二叉堆满足二个特性：

1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。

2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。

一般将二叉堆就简称为堆！！

堆的存储：一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i – 1)/ 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

2、建堆

我们可以自底向上地来将一个数组A[n]变成一个最大堆(最小堆);

用大根堆排序的基本思想:

1、先将初始文件A[0..n-1]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区

2、再将关键字最大的记录A[0](即堆顶)和无序区的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区A[0..n-2]和有序区R[n-1]，且满足A[0..n-2].keys≤A[n-1].key

由于交换后新的根A[0]可能违反堆性质，故应将当前无序区A[0..n-2]调整为堆。

3、然后再次将A[0..n-2]中关键字最大的记录A[0]和该区间的最后一个记录R[n-3]交换，由此得到新的无序区A[0..n-3]和有序区A[n-2..n-1]，且仍满足关系A[0..n-3].keys≤A[n-2..n-1].keys，同样要将A[1..n-2]调整为堆。

直到无序区只有一个元素为止。

用小根堆排序与利用大根堆类似，只不过其排序结果是递减有序的。

如图：

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
int left(const int x) { return (2*x+1); }
int right(const int x) { return (2*x+2); }

// 调整以i为根的子树，使之成为最大堆，size为堆的大小
void maxHeapify(int a[], int size, int i)
{  
    int l = left(i);
    int r = right(i);
    int largest = i;    // 最大堆的根
    
    if( (l < size) && (a[l] > a[i]) )        largest = l;
    if( (r < size) && (a[r] > a[largest]) )  largest = r;
    if( largest != i )
    {
        swap(a[i], a[largest]);         // 三个节点中较大者成为根
        maxHeapify(a, size, largest);   // 可能破坏了堆性质，重新调整
    }
}

void buildMaxHeap(int a[], int size)    // 建堆
{
    for(int i = (size/2)-1; i>=0; i--)
    {
        maxHeapify(a, size, i);
    }
}

void heapSort(int a[], int size)        // 堆排序，(n-1)*O(lgn) = O(nlgn)
{
   buildMaxHeap(a, size);
    for(int i=size-1; i>0; i--)         // 重复n-1次
    {
        swap(a[0], a[i]);
        size--;
        maxHeapify(a, size, 0);         // 每次调整，花费为O(lgn)
    }
}
int main()
{
    int a[] = {1, 3, 4, 5, 7, 2, 6, 8, 0};
    //a的首地址，a数组大小传过去。
	cout << "堆排序前：";
	for(int i = 0;i <= 8; i++)
	cout << a[i] << " ";
    heapSort(a, sizeof(a)/sizeof(a[0]));
	cout << endl << "堆排序后：";
   for(int i=0; i<sizeof(a)/sizeof(a[0]); i++)
    {
        cout << a[i] << " ";
    }
    cout << endl;
	getchar();
	getchar();
    return 0;
}

3、算法分析

堆排序的时间，主要由建立初始堆和反复重建堆这两部分的时间开销构成

堆排序的最坏时间复杂度为O(nlgn)。堆排序的平均性能较接近于最坏性能。

由于建初始堆所需的比较次数较多，所以堆排序不适宜于记录数较少的文件。

它是不稳定的排序方法。

堆排序的优点在于建堆很快，只需要O(n)的时间，而且只需要一次建堆就可以反复利用，因此n越大效率就越高。