软考 中级软件设计师 备考资料（2019年上半年）

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数据结构与算法基础

线性表

基本数据结构

顺序表

在内存中是顺序存储的。内存划分出来的区域是连续的区块。

链表

在内存中是离散存储的。

• head：头结点

• 结点：包括数据域和指针域（next 域）

链表的分类

单链表

头结点 head 指向第一个结点的数据域，第一个结点的指针域指向下一个结点的数据域…

注意：单链表的最后一个结点的指针域为空（null）！！！

循环链表

注意：循环表的最后一个结点的指针域不为空，而是指向了头结点！！！

双链表

链表的操作

单链表的结点删除

需求：删除 a2 结点

具体操作：将要删除的结点（a2）的前一个结点（a1）的 next 域指向 a2 的后一个的结点（a3）的数据域，然后释放（free）掉 a2 即可。

单链表的结点插入

需求：在 a1 结点后面插入一个新的结点 x

具体操作：将 a1 的 next 域指向 x 的数据域，将 x 的 next 域指向 a2 的数据域即可。

顺序表与链表的比较

性能类别	具体项目	顺序存储	链式存储
空间性能	存储密度	=1，更优	< 1
	容量分配	事先确定	动态改变，更优
时间性能	查找运算	O（n/2）	O(n/2)
	读运算	O（1）	O（[n+1]/2），最好情况为1，最坏情况为n
	插入运算	O（n/2）最好情况为0，最为情况为 n	O（1），更优
	删除运算	O（[n-1]/2）	O（1），更优

栈

• 思想：先进后出

队列

线性队列

• 思想：先进先出

循环队列

head：头指针（队头）

tail：尾指针（队尾）

• 当队列中没有存入值的时候，head 指针和 tail 指针指向同一个元素，并且该元素的值是空的！！！

• 当循环队列开始存入值时，head 指针是不动的，tail 指针是后移一个位置。

注意： 循环队列中为了能够区别队空和队满，牺牲了队列的最后一个空间。 判空条件：head = tail 判满条件：head = tail+1

树和二叉树

树的一些基本概念

（结合下面的图进行解释）

1. 结点的度：结点1与下一层的3个结点相关联，所以结点1的度为3。
2. 树的度：所有结点度当中，度数最高的一个，所以如图树的度为3。
3. 叶子结点：度为 0 的结点。
4. 分支结点：除了叶子节点外，其它都属于分支结点。
5. 内部结点：除了根节点和叶子结点外，其它都属于内部结点。
6. 父结点
7. 子结点
8. 兄弟结点
9. 层次：如图所示。

树的遍历

前序遍历

访问顺序：先访问根节点再访问子结点。

如上图的前序遍历为：1，2，5，6，7，3，4，8，9，10

后序遍历

访问顺序：先访问子结点再访问跟结点

如上图的后序遍历为：5，6，7，2，3，9，10，8，4，1

层次遍历

访问顺序：从上往下，一层一层访问

如上图的层次遍历为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10

二叉树

注意：二叉树并不是一种特殊的树，而是一种独立的数据结构，有明确的左结点和右结点。

完全二叉树的概念：

若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

二叉树的重要特性：

1. 在二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点（i>=1）

2. 深度为 k 的二叉树最多有 2^k - 1 个结点（k>=1）

3. 对任何一颗二叉树，如果其叶子结点数为 n0，度为 2 的结点数为 n2，则 n0=n2+1

4. 下图中的运算符号为向下取整。

   

二叉树的遍历

前序遍历

• 先访问根结点，接着访问左结点，最后访问右结点。

中序遍历

• 先访问左结点，接着访问根结点，最后访问右结点。

后序遍历

• 先访问左结点，结合访问右结点，最后访问根结点。

树与二叉树的转换

1. 加线：在兄弟之间加一连线
2. 抹线：对每个结点，除了其左孩子外，去除其与其余孩子之间的关系
3. 旋转：以树的根结点为轴心，将整树顺时针转45°

注意：转换后，树和二叉树的前序遍历一样。

二叉排序树

左子树的值小于根结点的值，右子树的值大于根结点的值。

在常用的描述二叉排序树的存储结构中，关键字值最大的结点的右指针一定为空。

最优二叉树（哈弗曼树）

• 需要了解的基本概念

树的路径长度：从根结点到某结点的边数

权：人为赋值

带权路径长度：权值乘于边数

树的带权路径长度：所有的叶子结点的带权路径长度相加

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例子：由权值为9，2，5，7的4个叶子结点构造一棵哈弗曼树，该树的带权路径长度为（44）。

解析：

构造哈夫曼树的方法是依次从提供的权值中（9，2，5，7）选取两个权值最小（2，5）的最为左右结点，组合成一个新的根节点（2+5=7）也要参与到第二次权值选择中。也就是说，第二次要从（9，7，7）中选取两个最小的权值。

最后生成的树如下图：

例子：若一颗哈夫曼树共有9个顶点，则其叶子节点的个数为（5）。

n0 = n2 +1

9 = n0 + n2

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平衡二叉树

基本概念

它或者是一颗空数，或者是一颗这样的树：树中任一结点的左、右子树的深度相差不超过1（即平衡查找树的每个结点的平衡度只能为 -1，0，1 三个值之一）。

平衡树的建立

平衡树调整

LL 型平衡旋转（单向右旋平衡处理）

• 第一种情况：

• 第二种情况

RR 型平衡旋转（单向左旋平衡处理）

LR 型平衡旋转（双向旋转，先左后右）

RL 型平衡旋转（双向旋转，先右后左）

图

图的构成

• 一个图是由两个集合：V和E组成，V是有限的非空顶点集合，E是用顶点对表示的边集合，图G的顶点集和边集分别记为V（G）和E（G），而将图G表示为G=（V,E），也就是说，决定一个图需要知道它的顶点集合与边的集合。

无向图与有向图

• 区别于边是否有箭头。

假设A，B为图中的两个顶点。

无向图的边表示方法：（A，B）

有向图的边表示方法：<A→B>、<B→A>

顶点的度（degree）

• 关联顶点的边数

• 有向图：入度和出度

子图

• 已知图A和图B，如果图B中所有的顶点都是图A中的顶点，图B中的所有边都是图A中的边，则图B是图A的子图。允许两种极端情况：什么都不删；删去所有点和所有线

真子图：同“子图”概念一样，但不允许什么都不删。

完全图

无向图，每对顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全图。

有向图，每对顶点之间都有两条有向边相互连接，则称该图为完全图。

路径和回路

• 假设图中的两个顶点A和B，A到B之间经过的边数称为路径。从顶点A出现，最后又回到顶点A，所走过的边组成的称为回路。

连通图和连通分量

无向图：任何两个顶点都有路径到达的图，称为连通图。

有向图：每两个顶点之间都能够有边（此处的边为有向边）到达的图，称为连通图。

连通分量：把连通图给分割出来，每一部分都是该图的连通分量。

邻接矩阵

图的遍历

图的最小生成树

普里姆算法（Prim 算法）

先选取树的第一个顶点（如图点0），再判断所选点到其它点的权值，如果的所选点无法直接到达的点，权值暂时标记为无穷大，然后选取与点0的权值最小的点作为树的第二个顶点。然后再以第二个顶点为基点，判断与其它点的权值大小，循环以上得到第二个顶点的操作，直到生成了树。

克鲁斯卡算法

• 算法思想：依次选取权值最小的边，只要不行成回路即可。

拓扑排序

AOV 网络

我们把用有向边表示活动之间开始的先后关系。

这种有向图称为用顶点表示活动网络，简称AOV网络。

拓扑顺序

入度为0先进行。

上图的拓扑序列有：02143567，01243657，02143657，01243567

关键路径

AOE 网络

在AOV网络中，如果边上的权表示完成该活动所需的时间，则称这样的AOV为AOE网络。

关键路径的几个重要概念

关键路径，就是从源点到终点，路径长度最长的路径。

排序算法

各类排序算法时间复杂度和空间复杂度的对比表

哈希算法（Hash)

什么是 Hash 表

Hash 函数的构造方法

处理冲突方法

哈希表的查找

可以查考这个博客学习：https://www.cnblogs.com/zhangbing12304/p/7997980.html

查找算法

编译原理

文法

终结符与非终结符

大写字母为非终结符

小写字母为终结符，不能单独在左边。

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例子：

有文法G2[S]为：

• S->Ap
• S->Bq
• A->a
• A->cA
• B->b
• B->dB

则 S,A,B为非终结符，而p,q,a,b,c,d为终结符。

• VN 表示非终结符集合，即 VN = {S,A,B}；

• VT 表示终结符集合，即 VT = {p,q,a,b,c,d}；

• P 表示生成式，即上面给出的生成式（S->Ap等）；

• S 表示开始符。

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文法的类型

0 型文法

设G=（VN，VT，P，S），如果它的每个产生式α→β是这样一种结构：α∈( VN∪VT )且至少含有一个非终结符，而 β∈(VN∪VT)，则G是一个0型文法。0型文法也称短语文法。

一个非常重要的理论结果是：0型文法的能力相当于图灵机(Turing)。或者说， 任何0型文语言都是递归可枚举的，反之，递归可枚举集必定是一个0型语言。

0型文法是这几类文法中，限制最少的一个，所以我们在试题中见到的,至少是0型文 法。

1 型文法

1型文法也叫上下文有关文法，此文法对应于线性有界自动机。它是在0型文法的基础上每一个α→β,都有 |β|>=|α|。这里的|β|表示的是β的长度。

例如：

A->B，|α| = 1，而 |β| = 1；

A->Bba，|α| = 1，而 |β| = 3.

注意：虽然要求|β|>=|α|，但有一特例：α→ε也满足1型文法。 如有 A->Ba 则 |β|=2,|α|=1符合1型文法要求。反之,如 aA->a，则不符合1型文法。

2 型文法

2型文法也叫上下文无关文法，它对应于下推自动机。2型文法是在1型文法的基础上,再满足：每一个 α→β 都有 α 是非终结符。如A->Ba,符合2型文法要求。

如 Ab->Bab 虽然符合1型文法要求,但不符合2型文法要求，因为其α=Ab，而Ab不是一个非终结符。

3 型文法

3型文法也叫正规文法，它对应于有限状态自动机。它是在2型文法的基础上满足：A→α|αB（右线性）或 A→α|Bα（左线性）。 α 代表的是非终结符，不一定要求字母相同。

特别注意：右线性和左线性，两套规则不能同时存在。

如有：A->a,A->aB, B->a, B->cB，则符合3型文法的要求。

但如果推导 为:A->ab, A->aB, B->a, B->cB

或推导 为:A->a, A->Ba, B->a, B->cB则不符合3型方法的要求了。

解释：

例子A->ab,A->aB,B->a,B->cB中的A->ab不符合3型文法的定义,如果把后面的ab,改成“一个非终结 符＋一个终结符”的形式（即为aB）就对了。

例子A->a,A->Ba,B->a,B->cB中如果把B->cB改为 B->Bc的形式就对了,因为A→α|αB（右线性）和A→α|Bα（左线性）两套规则不能同时出现在一个语法中,只能完全满足其中的一个,才能算 3型文法。

正规式（正则表达式）

正规式与正规文法之间的转换：

*：代表的是大于等于0的数

有限自动机（有穷自动机）

确定的有限自动机（DFA）